圆:弧、弦、切线与圆周角
Geometry CBE 有一整个 TEKS 类别专门考圆。掌握圆心角 / 圆周角 / 切线规则,以及圆的标准方程 (x − h)² + (y − k)² = r² 的形式。
整整一个 TEKS 类别专门考圆
在 Texas Geometry CBE 中,TEKS 12A–12E 完全用于考察圆——弧、弦、切线、圆心角与圆周角、扇形面积以及圆的方程。大约每 8 道 Geometry 题就有 1 道涉及这些内容。把规则一次性直观记牢,就相当于攻克了考试中一整个类别。
词汇表
- 半径 (r)
- 从圆心到圆上任意一点的距离。
- 直径 (d)
- 穿过圆心,从一端到另一端。d = 2r。
- 弦
- 端点都在圆上的任意线段。直径是最长的弦。
- 切线
- 只与圆相交于一个点的直线。在该点垂直于半径。
- 弧
- 圆周上两点之间的一段。
- 扇形
- 圆的"披萨切片"——由两条半径和一段弧围成。
圆心角 vs 圆周角
CBE 圆题最大的考点来源:圆周角等于圆心角的一半,只要它们对着同一段弧。
圆心角 = 弧的度数圆周角 = ½ · 弧的度数两者对着同一段弧,但圆周角始终恰好是一半。
特例
对着半圆(直径)的圆周角永远是 90°。这就是为什么内接于圆的直角三角形斜边总是直径。
圆心角 + 圆周角
在圆 O 中,弦 AB 形成一个 110° 的圆心角。点 C 位于优弧上。圆周角 ACB 的度数是多少?
圆周角等于所对弧的一半。 点 C 位于优弧,故圆周角 ACB 对着劣弧 AB = 110°。 ∠ACB = 110° / 2 = 55°。
周长、面积、扇形
周长: C = 2πr面积: A = πr²弧长: (θ/360) · 2πr扇形面积: (θ/360) · πr²弧长和扇形面积中,θ 是以度为单位的圆心角。
圆的方程
若圆心为 (h, k),半径为 r,则圆上每个点 (x, y) 都满足:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2这就是距离公式的平方形式。括号内的符号在求圆心时全部取反。
符号陷阱
(x + 3)2 意味着 h = −3,不是 +3。公式使用 (x − h),所以内部的加号对应外部的减号。同理 (y + 2)2 → k = −2。
从方程读出圆心与半径
圆的方程为 (x + 3)² + (y − 2)² = 49。圆心和半径是什么?
📌 第1步:回忆标准形式 (x − h)² + (y − k)² = r² 其中圆心 = (h, k),半径 = r 📌 第2步:与所给方程匹配 (x + 3)² + (y − 2)² = 49 (x − (−3))² + (y − 2)² = 7² 📌 第3步:读出圆心和半径 圆心 = (−3, 2) 半径 = √49 = 7 💡 常见错误:注意符号! (x + 3) 意味着 h = −3(负) (y − 2) 意味着 k = 2(正) 方程内的符号与坐标符号相反。
3 秒回顾
- 切点处 切线 ⊥ 半径
- 圆周角 = ½ 圆心角(同一弧)
- 对着直径的圆周角 = 90°
- 圆的方程:(x − h)² + (y − k)² = r²——翻转符号得到圆心
- 扇形 / 弧就是整圆的 (θ/360) 比例
自我检测
快速检测 #1
圆中一个圆周角度数为 40°。对同一弧的圆心角度数是多少?
圆周角定理:同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。40° × 2 = 80°。
快速检测 #2
在切点画一条切线,并画出该点到圆心的半径。切线与半径的夹角是:
这是一条基础圆定理:切线永远垂直(90°)于切点到圆心的半径。