원: 호, 현, 접선, 그리고 원주각

Geometry CBE 시험에는 원만을 위한 TEKS 범주가 통째로 존재합니다. 중심각·원주각·접선 규칙과 원의 방정식 (x − h)² + (y − k)² = r² 형식을 확실히 익혀 두시기 바랍니다.

9 분TEKS 12A,12B,12C,12D,12E기하학

원만을 위한 TEKS 범주 하나가 통째로 존재합니다

Texas Geometry CBE에서 TEKS 12A–12E는 오직 원에만 할애됩니다 — 호, 현, 접선, 중심각과 원주각, 부채꼴의 넓이, 원의 방정식까지 다룹니다. Geometry 문제 8개 중 1개 꼴로 이 중 하나를 다룹니다. 규칙을 한 번 시각적으로 외워 두면 시험 한 범주 전체를 정복하신 셈입니다.

용어 정리

한눈에 알아보아야 할 다섯 가지 요소입니다. 접선은 접점에서 항상 반지름과 90°로 만납니다.

반지름 (r): 중심에서 원 위 임의의 점까지의 거리입니다.
지름 (d): 중심을 지나 원의 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 이어집니다. d = 2r.
현: 양 끝점이 원 위에 있는 선분입니다. 가장 긴 현이 바로 지름입니다.
접선: 원과 정확히 한 점에서 만나는 직선입니다. 접점에서 반지름과 수직입니다.
호: 원 둘레 위 두 점 사이의 부분입니다.
부채꼴: 원의 "피자 조각" — 두 반지름과 호로 둘러싸인 부분입니다.

중심각 vs 원주각

CBE 원 문제의 가장 큰 출제 원천: 같은 호를 마주 보는 원주각은 중심각의 절반입니다.

오른쪽 원에서는 같은 호를 마주 보지만 꼭짓점이 원 위(중심이 아님)에 있어 → 절반이 됩니다.

중심각 = 호의 크기원주각 = ½ · 호의 크기둘 다 같은 호를 마주 보지만 원주각은 항상 정확히 절반입니다.

특수한 경우

반원(지름)을 마주 보는 원주각은 항상 90°입니다. 원에 내접하는 직각삼각형에서 지름이 항상 빗변이 되는 이유가 여기에 있습니다.

중심각과 원주각

원 O에서 현 AB가 중심각 110°를 만듭니다. 점 C는 우호(큰 호) 위에 있습니다. 원주각 ACB의 크기는 얼마입니까?

원의 둘레, 넓이, 부채꼴

둘레: C = 2πr넓이: A = πr²호의 길이: (θ/360) · 2πr부채꼴 넓이: (θ/360) · πr²호의 길이와 부채꼴 넓이에서 θ는 도(°) 단위의 중심각입니다.

원의 방정식

중심이 (h, k), 반지름이 r인 원 위의 모든 점 (x, y)는 다음을 만족합니다:

(x − h)² + (y − k)² = r²이는 거리 공식을 제곱한 것입니다. 괄호 안의 부호는 중심을 구할 때 반대로 뒤집으시면 됩니다.

부호 뒤집기 함정

(x + 3)²는 h = −3이지 +3이 아닙니다. 공식은 (x − h)이므로 안쪽의 +는 바깥쪽에서 −가 됩니다. (y + 2)²도 마찬가지로 k = −2입니다.

방정식에서 중심과 반지름 읽어내기

원의 방정식이 (x + 3)² + (y − 2)² = 49입니다. 중심과 반지름은?

3초 요약

접점에서 접선 ⊥ 반지름
원주각 = ½ 중심각 (같은 호)
지름을 마주 보는 원주각 = 90°
원의 방정식: (x − h)² + (y − k)² = r² — 부호를 반대로 뒤집어 중심을 얻습니다
부채꼴 / 호는 원 전체의 (θ/360) 비율일 뿐입니다

스스로 확인하기

확인 문제 #1

원의 원주각의 크기가 40°입니다. 같은 호를 마주 보는 중심각의 크기는?

확인 문제 #2

원의 접점에서 접선을 그은 뒤 그 점까지의 반지름을 그렸을 때, 접선과 반지름 사이의 각은?