坐标几何与变换:平移、反射、旋转、放缩
平移、反射、旋转、放缩——坐标平面上四种变换及各自的规则。加上每道坐标题都需要的距离、中点与斜率公式。
网格是你的好帮手
在坐标平面上,任何"找出缺失点"或"这是什么形状"的题目都变成了套公式计算。你只需要三个公式和四条变换规则——而 CBE 每年都用同样的方式考它们。
必背的三个公式
距离: d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]中点: M = ( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 )斜率: m = (y2 − y1) / (x2 − x1)距离其实就是 Pythagoras 定理换个皮。中点是平均。斜率是 y 变化量除以 x 变化量。
用斜率判断平行与垂直
平行直线斜率相等。垂直直线斜率互为负倒数(m 与 −1/m)。水平线 → m = 0。竖直线 → m 无定义。
四种变换
(x, y) 变换规则
按 (a, b) 平移: (x, y) → (x + a, y + b)关于 x 轴反射: (x, y) → (x, −y)关于 y 轴反射: (x, y) → (−x, y)关于 y = x 反射: (x, y) → (y, x)绕原点逆时针 90°: (x, y) → (−y, x)绕原点顺时针 90°: (x, y) → (y, −x)绕原点 180°: (x, y) → (−x, −y)系数 k 放缩(中心在原点):(x, y) → (kx, ky)
旋转记忆窍门
逆时针 90° CCW:先交换,再把新 x 取负。顺时针 CW:先交换,再把新 y 取负。180°:两个都取负。永远先交换 x 与 y——符号最后处理。
平移一个点
点 P(4, -2) 向左平移 3 个单位、向上平移 5 个单位。P' 的坐标是多少?
平移:(x - 3, y + 5) = (4 - 3, -2 + 5) = (1, 3)。向左对 x 做减法;向上对 y 做加法。
反射一个三角形
三角形顶点为 A(2, 3)、B(6, 3)、C(4, 7)。该三角形关于 y 轴作反射,A'(A 的像)坐标为?
关于 y 轴反射:(x, y) → (-x, y)。所以 A(2, 3) → A'(-2, 3)。y 坐标不变,只改变 x 坐标的符号。
顺时针旋转 90°
顶点为 A(1, 2)、B(4, 2)、C(4, 5) 的图形绕原点顺时针旋转 90°。B' 的坐标是多少?
绕原点顺时针旋转 90°:(x, y) → (y, -x)。所以 B(4, 2) → B'(2, -4)。
复合变换
顺序很关键
如果题目说"先反射再平移"——请严格按这个顺序做。对已平移图形做反射,并不等于对已反射图形做平移。每一步都作用在上一步的结果上。
3 秒回顾
- 距离 = √[(Δx)² + (Δy)²]
- 中点 = x 平均、y 平均
- 斜率 = Δy / Δx
- 平移、反射、旋转 → 全等像
- 放缩 → 相似像(比例系数 k)
自我检测
快速检测 #1
将点 (3, −5) 关于 x 轴反射,像是什么?
关于 x 轴的反射翻转 y 的符号并保持 x 不变:(x, y) → (x, −y)。所以 (3, −5) → (3, 5)。
快速检测 #2
将点 (2, 4) 按向量 <5, −3> 平移。像是什么?
平移就是把向量加到点上:(x + 5, y + (−3)) = (2 + 5, 4 − 3) = (7, 1)。