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Círculos: arcos, cuerdas, tangentes y ángulos inscritos
El CBE de Geometría tiene toda una categoría TEKS solo para círculos. Domina las reglas de ángulo central / ángulo inscrito / tangente y la forma de la ecuación del círculo (x − h)² + (y − k)² = r².
9 minTEKS 12A,12B,12C,12D,12EGeometría
Toda una categoría TEKS solo para círculos
En el CBE de Geometría de Texas, TEKS 12A–12E se dedica por completo a los círculos — arcos, cuerdas, tangentes, ángulos centrales e inscritos, área del sector y ecuación del círculo. Aproximadamente 1 de cada 8 preguntas de Geometría evalúa alguno de estos temas. Memoriza las reglas visualmente una sola vez y tendrás toda una categoría del examen resuelta.
El vocabulario
Las cinco partes que debes nombrar a simple vista. La tangente siempre encuentra el radio a 90°.
Radio (r)
Desde el centro hasta cualquier punto del círculo.
Diámetro (d)
Pasa por el centro, de borde a borde. d = 2r.
Cuerda
Cualquier segmento con extremos en el círculo. El diámetro es la cuerda más larga.
Tangente
Una recta que toca al círculo en exactamente un punto. Perpendicular al radio en ese punto.
Arco
Un trozo de la circunferencia entre dos puntos.
Sector
Una "rebanada de pizza" del círculo — limitada por dos radios y un arco.
Ángulo central vs ángulo inscrito
La mayor fuente de preguntas de círculo en el CBE: el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central cuando ambos subtienden el mismo arco.
El mismo arco en el círculo de la derecha, pero el vértice del ángulo está en el círculo (no en el centro) → se reduce a la mitad.
Ángulo central = medida del arcoÁngulo inscrito = ½ · medida del arcoAmbos interceptan el mismo arco, pero el ángulo inscrito es siempre exactamente la mitad.
Caso especial
Un ángulo inscrito que intercepta un semicírculo (diámetro) es siempre 90°. Por eso los triángulos rectángulos inscritos en círculos siempre tienen al diámetro como hipotenusa.
Central + inscrito
En el círculo O, la cuerda AB forma un ángulo central de 110°. El punto C está sobre el arco mayor. ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito ACB?
El ángulo inscrito es la mitad del arco interceptado. El punto C está en el arco mayor, así que el ángulo ACB intercepta el arco menor AB = 110°. ∠ACB = 110° / 2 = 55°.
Circunferencia, área, sector
Circunferencia: C = 2πrÁrea: A = πr²Longitud del arco: (θ/360) · 2πrÁrea del sector: (θ/360) · πr²Para la longitud del arco y el área del sector, θ es el ángulo central en grados.
La ecuación del círculo
Si un círculo tiene centro (h, k) y radio r, todo punto (x, y) sobre él satisface:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2Esta es la fórmula de la distancia al cuadrado. Todo lo que está dentro del paréntesis se invierte de signo para hallar el centro.
Trampa del cambio de signo
(x + 3)2 significa h = −3, no +3. La fórmula usa (x − h), así que un más dentro significa un menos afuera. Lo mismo con (y + 2)2 → k = −2.
Leer centro y radio desde la ecuación
La ecuación de un círculo es (x + 3)² + (y − 2)² = 49. ¿Cuál es el centro y el radio?
📌 Paso 1: Recuerda la forma estándar (x − h)² + (y − k)² = r² donde centro = (h, k) y radio = r 📌 Paso 2: Empareja con la ecuación dada (x + 3)² + (y − 2)² = 49 (x − (−3))² + (y − 2)² = 7² 📌 Paso 3: Lee el centro y el radio centro = (−3, 2) radio = √49 = 7 💡 Error común: ¡Cuidado con los signos! (x + 3) significa h = −3 (negativo) (y − 2) significa k = 2 (positivo) El signo en la ecuación es el OPUESTO al de la coordenada.
Repaso de 3 segundos
Tangente ⊥ radio en el punto de tangencia
Ángulo inscrito = ½ ángulo central (mismo arco)
Ángulo inscrito sobre un diámetro = 90°
Ecuación del círculo: (x − h)² + (y − k)² = r² — invierte los signos para hallar el centro
Sector / arco son simplemente fracciones (θ/360) del círculo completo
Comprueba lo aprendido
Pregunta rápida #1
Un ángulo inscrito en un círculo mide 40°. ¿Cuál es la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco?
Teorema del ángulo inscrito: un ángulo central es EL DOBLE del ángulo inscrito que intercepta el mismo arco. 40° × 2 = 80°.
Pregunta rápida #2
Se traza una recta tangente a un círculo en el punto de tangencia. El ángulo entre la tangente y el radio trazado a ese punto es:
Este es un teorema fundamental sobre círculos: una recta tangente es SIEMPRE perpendicular (90°) al radio trazado hasta el punto de tangencia.