좌표기하와 변환: 이동·반사·회전·확대
이동·반사·회전·확대 — 좌표평면 위의 네 가지 변환과 각각의 규칙을 학습합니다. 또한 좌표 문제마다 필요한 거리·중점·기울기 공식까지 정리합니다.
격자는 여러분의 든든한 아군입니다
좌표평면 위에서는 "빠진 점을 찾아라" 또는 "이 도형은 무엇인가"와 같은 모든 문제가 대입해서 계산하는 문제가 됩니다. 필요한 것은 공식 세 개와 변환 규칙 네 개뿐이며 — CBE는 매년 같은 방식으로 이것들을 출제합니다.
외워야 할 세 공식
거리: d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]중점: M = ( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 )기울기: m = (y2 − y1) / (x2 − x1)거리는 Pythagoras 공식을 변형한 것입니다. 중점은 평균이며, 기울기는 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값입니다.
기울기로 판단하는 평행 · 수직
평행한 두 직선은 기울기가 같습니다. 수직인 두 직선은 기울기가 서로 음의 역수입니다 (m과 −1/m). 수평 → m = 0. 수직선 → m 정의되지 않음.
네 가지 변환
(x, y) 변환 규칙
(a, b) 만큼 평행이동: (x, y) → (x + a, y + b)x축 대칭: (x, y) → (x, −y)y축 대칭: (x, y) → (−x, y)y = x 대칭: (x, y) → (y, x)원점 중심 반시계 90°: (x, y) → (−y, x)원점 중심 시계 90°: (x, y) → (y, −x)원점 중심 180°: (x, y) → (−x, −y)배율 k 확대 (원점 중심): (x, y) → (kx, ky)
회전 기억법
반시계 90° CCW: 자리를 바꾼 뒤 새 x의 부호를 뒤집습니다. 시계 CW: 자리를 바꾼 뒤 새 y의 부호를 뒤집습니다. 180°: 둘 다 부호를 뒤집습니다. 언제나 x와 y의 위치를 먼저 바꾸시고 — 부호는 마지막에 결정하시면 됩니다.
점의 평행이동
점 P(4, -2)를 왼쪽으로 3, 위로 5만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는?
평행이동: (x - 3, y + 5) = (4 - 3, -2 + 5) = (1, 3). 왼쪽 이동은 x에서 빼고, 위 이동은 y에 더합니다.
삼각형의 대칭
삼각형의 꼭짓점이 A(2, 3), B(6, 3), C(4, 7)입니다. y축에 대해 대칭이동한 점 A'의 좌표는?
y축 대칭은 (x, y)를 (-x, y)로 바꿉니다. 따라서 A(2, 3) → A'(-2, 3). y좌표는 그대로이고 x좌표의 부호만 바뀝니다.
시계 방향 90° 회전
꼭짓점이 A(1, 2), B(4, 2), C(4, 5)인 도형을 원점 중심으로 시계 방향 90° 회전했을 때 B'의 좌표는?
원점 중심 시계 방향 90° 회전: (x, y) → (y, -x). 따라서 B(4, 2) → B'(2, -4)입니다.
합성 변환
순서가 중요합니다
"대칭한 후 평행이동"이라고 하면 반드시 그 순서대로 하시기 바랍니다. 이미 평행이동한 도형을 대칭시키는 것과 이미 대칭시킨 도형을 평행이동하는 것은 결과가 다릅니다. 각 단계는 이전 단계의 결과에 적용해야 합니다.
3초 요약
- 거리 = √[(Δx)² + (Δy)²]
- 중점 = x좌표와 y좌표의 평균
- 기울기 = Δy / Δx
- 평행이동·대칭·회전 → 합동 도형
- 확대 → 닮음 도형 (배율 k)
스스로 확인하기
확인 문제 #1
점 (3, −5)를 x축에 대해 대칭이동한 점은?
x축 대칭은 x는 그대로 두고 y의 부호를 뒤집습니다: (x, y) → (x, −y). 따라서 (3, −5) → (3, 5).
확인 문제 #2
점 (2, 4)를 벡터 <5, −3>만큼 평행이동한 점은?
평행이동은 점에 벡터를 더합니다: (x + 5, y + (−3)) = (2 + 5, 4 − 3) = (7, 1).