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Área de superficie y volumen: seis figuras, seis fórmulas, una estrategia
Cilindro, cono, esfera, prisma, pirámide — las fórmulas y las pistas visuales. Además, la regla de escala que explica por qué duplicar las dimensiones multiplica el volumen por 8.
9 minTEKS 10A,10B,11A,11B,11C,11DGeometría
Seis figuras, una sola estrategia
El CBE de Geometría de Texas nunca te pide deducir una fórmula de volumen — solo te pide aplicarla. Memoriza las seis fórmulas, reconoce cada figura a simple vista y podrás resolver cualquier problema 3D en menos de 30 segundos.
La hoja de referencia
Las pirámides y los conos ocupan un tercio del prisma o cilindro que los contiene. La esfera es &frac43; πr³.
Fórmulas para memorizar
Prisma / cubo: V = B · h (B = área de la base)Cilindro: V = πr2hPirámide: V = ⅓ B · hCono: V = ⅓ πr2hEsfera: V = &frac43; πr3Área de la esfera: SA = 4πr2
La regla del "un tercio"
Cualquier sólido puntiagudo (cono, pirámide) contiene exactamente un tercio del volumen del sólido de tapa plana correspondiente (cilindro, prisma) con la misma base y altura. Memoriza los planos y multiplica por ⅓ para los puntiagudos.
El área de superficie = suma de todas las caras
El área de superficie es simplemente el área total de cada cara que pintarías. Para un prisma, suma todos los rectángulos. Para un cilindro, la superficie lateral es un rectángulo enrollado: SAlateral = 2πr · h.
Cilindro SA total: 2πr² + 2πr · h (dos círculos + el rectángulo)Cono SA lateral: πr · ℓ (donde ℓ es la altura inclinada)Cono SA total: πr² + πr · ℓ
Escala del volumen del cilindro
Un cilindro tiene radio 4 y altura 10. Si el radio se triplica pero la altura sigue igual, ¿por qué factor aumenta el volumen?
📌 Paso 1: Recuerda cómo los cambios dimensionales afectan al volumen V = πr²h Cuando r se multiplica por k (y h se mantiene): Nuevo V = π(kr)²h = k²πr²h = k² × V original 📌 Paso 2: Aplica k = 3 Factor = 3² = 9 📌 Verificación: Original: π(4²)(10) = 160π Nuevo: π(12²)(10) = 1440π 1440π / 160π = 9 ✓ 💡 Regla clave: cambiar UNA dimensión lineal por factor k cambia: • Longitud → k • Área → k² • Volumen → k² (si solo radio) o k³ (si todas las dimensiones)
Área lateral de un cono
Área lateral de un cono con r=7, l=10. (π ≈ 3.14)
📌 LA = πrl = 3.14(7)(10) = 219.8
La regla de escala k³
A la mitad → a un octavo
Escalar cada dimensión lineal por k → el volumen escala por k³. Reduce todas las dimensiones a la mitad (k = ½) → el nuevo volumen es (½)³ = ⅛ del original. Triplícalas (k = 3) → el nuevo volumen es 3³ = 27× el original.
Escalar un prisma rectangular
Un prisma rectangular: 6×8×10. Si todas las dimensiones se reducen a la mitad, ¿nuevo volumen?
📌 Original = 480. Todas a la mitad → V × (1/2)³ = 480/8 = 60
Figura compuesta (rectángulo + semicírculo)
Una piscina tiene la forma que se muestra abajo — un rectángulo con un semicírculo en cada extremo. Halla el área total de la piscina. (Usa π ≈ 3.14)
Área del rectángulo = 20 × 10 = 200 m². Los dos semicírculos = un círculo completo con r = 5: π × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 m². Total = 200 + 78.5 = 278.5 m².
Repaso de 3 segundos
Prisma / cilindro → B · h
Pirámide / cono → ⅓ B · h (regla de un tercio)
Esfera → &frac43;πr³, superficie 4πr²
Área de superficie = suma del área de cada cara
Factor lineal k → área × k², volumen × k³
Comprueba lo aprendido
Pregunta rápida #1
Halla el volumen de un cubo con arista 4.
Fórmula del volumen del cubo: V = s³. Con s = 4: V = 4³ = 64 unidades cúbicas.
Pregunta rápida #2
¿Cuál es el área de superficie de una esfera de radio 3?
Área de la esfera: A = 4πr². A = 4π(3)² = 4π · 9 = 36π.