겉넓이와 부피: 여섯 도형, 여섯 공식, 하나의 전략
원기둥, 원뿔, 구, 각기둥, 각뿔 — 공식과 시각적 단서. 그리고 모든 치수를 두 배로 하면 부피가 8배가 되는 이유를 설명하는 스케일 법칙까지 학습합니다.
여섯 도형, 하나의 전략
Texas Geometry CBE 시험은 부피 공식을 유도하라고 요구하지 않습니다. 오직 적용만 요구합니다. 여섯 개의 공식을 외우고, 각 도형을 한눈에 알아볼 수 있다면 모든 3D 문제를 30초 안에 해결할 수 있습니다.
한눈에 보는 공식 시트
외워야 할 공식들
각기둥 / 정육면체: V = B · h (B = 밑넓이)원기둥: V = πr2h각뿔: V = ⅓ B · h원뿔: V = ⅓ πr2h구: V = &frac43; πr3구의 겉넓이: SA = 4πr2
"3분의 1" 법칙
모든 뾰족한 입체(원뿔, 각뿔)의 부피는 밑면과 높이가 같은 평평한 윗면의 입체(원기둥, 각기둥) 부피의 정확히 3분의 1입니다. 평평한 것을 외운 뒤 뾰족한 것에는 ⅓을 곱하시면 됩니다.
겉넓이 = 모든 면의 합
겉넓이는 페인트를 칠할 모든 면의 총 넓이일 뿐입니다. 각기둥은 모든 직사각형을 더합니다. 원기둥의 옆면은 펼치면 직사각형이 됩니다: SA옆면 = 2πr · h.
원기둥 전체 SA: 2πr² + 2πr · h (원 2개 + 직사각형)원뿔 옆면 SA: πr · ℓ (ℓ은 모선)원뿔 전체 SA: πr² + πr · ℓ
원기둥 부피의 스케일링
원기둥의 반지름이 4, 높이가 10입니다. 반지름을 3배로 하고 높이는 그대로 유지하면 부피는 몇 배가 됩니까?
📌 1단계: 차원 변화가 부피에 미치는 영향 되짚기 V = πr²h r에 k를 곱하면 (h는 그대로): 새 V = π(kr)²h = k²πr²h = k² × 원래 V 📌 2단계: k = 3 적용 배율 = 3² = 9 📌 확인: 원래: π(4²)(10) = 160π 새로: π(12²)(10) = 1440π 1440π / 160π = 9 ✓ 💡 핵심 규칙: 하나의 선형 치수만 k배 하면: • 길이 → k • 넓이 → k² • 부피 → k² (반지름만) 또는 k³ (모든 치수)
원뿔의 옆넓이
r=7, l=10인 원뿔의 옆넓이는? (π ≈ 3.14)
📌 LA = πrl = 3.14(7)(10) = 219.8
k³ 스케일 법칙
절반 → 8분의 1
모든 선형 치수를 k배 확대·축소하면 부피는 k³배가 됩니다. 모든 치수를 절반으로 하면(k = ½) 새 부피는 (½)³ = 원래의 ⅛이 됩니다. 3배로 하면(k = 3) 새 부피는 3³ = 원래의 27배가 됩니다.
직육면체 축소
직육면체 6×8×10. 모든 치수를 절반으로 하면 새 부피는?
📌 원래 = 480. 모두 절반 → V × (1/2)³ = 480/8 = 60
복합 도형(직사각형 + 반원)
수영장이 아래와 같이 양쪽에 반원이 붙은 직사각형 모양입니다. 수영장의 전체 넓이를 구하세요. (π ≈ 3.14)
직사각형 넓이 = 20 × 10 = 200 m². 반원 두 개 = r = 5인 완전한 원 하나: π × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 m². 합계 = 200 + 78.5 = 278.5 m².
3초 요약
- 각기둥 / 원기둥 → B · h
- 각뿔 / 원뿔 → ⅓ B · h (3분의 1 법칙)
- 구 → &frac43;πr³, 겉넓이 4πr²
- 겉넓이 = 모든 면의 넓이의 합
- 선형 배율 k → 넓이 × k², 부피 × k³
스스로 확인하기
확인 문제 #1
한 모서리의 길이가 4인 정육면체의 부피를 구하세요.
정육면체 부피 공식: V = s³. s = 4이면 V = 4³ = 64 단위 부피입니다.
확인 문제 #2
반지름이 3인 구의 겉넓이는 얼마입니까?
구의 겉넓이: A = 4πr². A = 4π(3)² = 4π · 9 = 36π.