SOH-CAH-TOA: 원리부터 익히는 sin, cos, tan

세 개의 비, 하나의 각도, 그리고 직각삼각형의 모든 문제. sin·cos·tan을 무작정 외워야 하는 짐이 아닌 5초 안에 결정할 수 있는 도구로 바꿔 주는 시각적 학습입니다.

8 분TEKS 9A,9B기하학

애초에 왜 세 개의 비가 필요할까요?

여러분이 땅에 서서 건물 꼭대기를 올려다본다고 상상해 보십시오. 건물 밑에서 얼마나 떨어져 있는지 알고 있고 올려다보는 각도를 측정할 수 있습니다. 그렇다면 자를 들고 올라가지 않고도 건물 높이를 알 수 있을까요?

Texas Geometry CBE는 이런 종류의 문제를 반복해서 물어봅니다. 문제를 풀려면 "각도 + 한 변"을 "모르는 변"으로 바꿔 주는 도구가 필요합니다. 그 도구의 이름이 바로 삼각비(trigonometry)입니다. 그리고 직각삼각형에서는 이 세 가지 비 — sin, cos, tan — 로 정리됩니다.

핵심 아이디어

어떤 직각삼각형이든 두 변의 비는 직각이 아닌 각 하나에 의해서만 정해집니다. 세 개의 비를 외우고 나면 — 어떤 두 정보가 주어져도 임의의 변이나 각을 구할 수 있습니다.

직각삼각형의 구조

비를 이름 짓기 전에 각 부분부터 이름을 붙여 보겠습니다. 두 개의 직각이 아닌 각 중 하나를 골라 θ (세타)라고 부르겠습니다. 이제 이 각을 기준으로 세 변을 살펴보시기 바랍니다:

변은 세 개, 라벨이 붙은 각은 하나입니다. 기억하시기 바랍니다: 대변/밑변은 언제나 어떤 각을 기준으로 하느냐에 따라 결정됩니다.

빗변 (Hypotenuse): 가장 긴 변으로, 언제나 직각의 맞은편입니다. 어떤 각을 기준으로 하든 라벨이 바뀌지 않습니다.
대변 (Opposite): 선택한 각 θ의 맞은편에 있는 변입니다. 각이 바뀌면 이 라벨도 다른 변으로 옮겨 갑니다.
밑변 (Adjacent): θ의 바로 옆에 있으면서 빗변이 아닌 변입니다. 마찬가지로 각이 바뀌면 옮겨 갑니다.

주의

"대변"과 "밑변"은 변 자체의 성질이 아니라 기준이 되는 각에 대한 성질입니다. 먼저 각을 정하고, 그다음에 이름을 붙이시기 바랍니다. CBE에서 가장 자주 발생하는 실수가 바로 잘못된 쌍을 사용하는 것입니다.

세 개의 비 — SOH-CAH-TOA

이제 핵심입니다. 고정된 각 θ에 대해 삼각형을 크게 그리든 작게 그리든 다음 세 비는 언제나 일정합니다:

sin θ = 대변 / 빗변cos θ = 밑변 / 빗변tan θ = 대변 / 밑변SOH — CAH — TOA

SOH-CAH-TOA는 각 비의 앞 글자를 이어 붙인 것입니다: Sin = Opp/Hyp, Cos = Adj/Hyp, Tan = Opp/Adj. 시험 전에 이마에 붙여 두셔도 좋겠습니다.

아하 포인트

각 비는 정확히 두 변만을 사용합니다. 문제에서 한 비와 한 변만 주어져도 나머지 변을 구할 수 있다는 뜻입니다. 이것이 사실상 트릭의 전부입니다.

따라 해 보기 — 모르는 변 구하기

실제 CBE 스타일 문제에 적용해 보겠습니다. 평평한 지면 위에서 건물 밑동으로부터 150피트 떨어진 지점에서 건물 꼭대기까지의 올려본 각도가 32°라고 합니다. 건물의 높이는 얼마일까요?

150 ft는 32° 각의 밑변입니다. 모르는 높이 h가 대변입니다. 빗변은 문제에 등장하지 않으므로 — 대변과 밑변만 사용하는 비가 필요합니다.

1단계 — 알고 있는 것과 구하려는 것을 확인합니다. 알고 있는 것은 밑변 (150 ft)과 각 (32°), 구하려는 것은 대변 (h)입니다.

2단계 — 그 두 부분만 사용하는 비를 고릅니다. tan이 유일하게 그 조건을 만족합니다: 대변 / 밑변. 그래서 다음과 같이 계산합니다:

tan 32° = h / 150h = 150 × tan 32°h = 150 × 0.625 = 93.75 ft

건물의 높이는 약 94피트입니다. tan을 올바로 고른 뒤 계산은 세 줄로 끝납니다.

결정 트리

직각삼각형 서술형 문제를 보시면 이렇게 물어보십시오: {대변, 밑변, 빗변} 중 어느 둘이 관련되어 있는가? 대변 + 밑변 → tan. 대변 + 빗변 → sin. 밑변 + 빗변 → cos. 종이에 무엇을 쓰기 전에 이것부터 정하시기 바랍니다.

스스로 확인하기

확인 문제 #1

직각삼각형에서 sin(θ)의 정의는?

확인 문제 #2

50피트 탑 꼭대기에서 지면의 한 점까지의 내려본 각도가 30°입니다. 그 점은 탑 밑동으로부터 얼마나 떨어져 있습니까? (tan 30° ≈ 0.577)

직접 풀어 보기

방법을 익혔으니, 실제 CBE에서 만날 수 있는 유형을 풀어 보시기 바랍니다. 답을 눌러 확인해 보시면 아래에 풀이가 표시됩니다.

벽에 기댄 사다리

24피트짜리 사다리가 벽에 기대 있고 평평한 지면과 65° 각을 이룹니다. 사다리가 벽을 따라 올라간 높이를 소수점 첫째 자리까지 구하시기 바랍니다. (sin 65° ≈ 0.906, cos 65° ≈ 0.423)

휠체어 경사로 각도

휠체어 경사로가 수평 216인치에 대해 18인치 올라가야 합니다. 경사각을 소수점 첫째 자리까지 구하시기 바랍니다. (역탄젠트 tan⁻¹를 사용하세요.)

다음에 이어질 내용

SOH-CAH-TOA는 각도와 한 변이 주어지는 CBE 직각삼각형 문제를 모두 해결해 줍니다. 앞으로 만나실 자연스러운 확장은 다음 두 가지입니다:

역삼각함수 (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) — 두 변을 알고 각을 구할 때 사용합니다. 같은 세 비를 반대로 돌리는 것뿐입니다.
특수 직각삼각형 (30-60-90, 45-45-90) — 계산기 없이도 정확히 쓸 수 있는 비율입니다. CBE에서 정말 자주 등장합니다.

지금 당장의 승리 조건은 CBE와 같습니다: 어떤 직각삼각형 상황이 주어져도 5초 안에 올바른 비를 골라내는 것. 그것이 이 강의의 전부입니다.