SOH-CAH-TOA: Sin, Cos, Tan từ nguyên lý gốc

Ba tỉ số, một góc, mọi bài toán tam giác vuông. Bài học trực quan biến sin/cos/tan từ nỗi ám ảnh ghi nhớ thành quyết định trong 5 giây.

8 phútTEKS 9A,9BHình học

Vì sao lại cần đến ba tỉ số ngay từ đầu?

Hình dung các em đứng trên mặt đất nhìn lên đỉnh một tòa nhà. Các em biết mình cách chân tòa nhà bao xa và có thể đo góc mà mắt các em nhìn lên. Các em muốn biết chiều cao tòa nhà — mà không phải trèo lên đó với thước dây.

Đó là dạng bài Texas Geometry CBE liên tục yêu cầu các em giải. Để làm được, các em cần một cách biến "góc + một cạnh" thành "cạnh còn thiếu". Cái công cụ đó có tên: lượng giác. Trong tam giác vuông nó gói gọn thành ba tỉ số — sin, cos, tan.

Ý tưởng lớn

Với mọi tam giác vuông, tỉ số giữa hai cạnh chỉ phụ thuộc vào một trong hai góc không phải góc vuông. Học thuộc ba tỉ số — các em có thể tìm bất kỳ cạnh hay góc nào từ mọi cặp dữ kiện.

Cấu tạo của tam giác vuông

Trước khi đặt tên tỉ số, hãy gọi tên các phần. Chọn một trong hai góc không phải góc vuông — gọi là θ (theta). Bây giờ nhìn ba cạnh so với góc đó:

Ba cạnh, một góc được đánh dấu. Nhớ: cạnh đối / cạnh kề luôn phụ thuộc vào các em đang xét góc nào.

Cạnh huyền: Cạnh dài nhất, luôn đối diện góc vuông. Nhãn của nó không đổi — dù các em chọn góc không phải góc vuông nào.
Cạnh đối: Cạnh đối diện với góc θ đã chọn. Đổi góc thì nhãn này chuyển sang cạnh khác.
Cạnh kề: Cạnh bên cạnh góc θ mà không phải cạnh huyền. Đổi góc thì nhãn này cũng đổi.

Chú ý

"Đối" và "kề" không phải là tính chất của cạnh — mà là tính chất của cạnh đối với góc đang xét. Hãy chọn góc trước, rồi gán nhãn. Lỗi phổ biến nhất trong CBE là dùng nhầm cặp.

Ba tỉ số — SOH-CAH-TOA

Giờ là ý chính. Với một góc θ cố định, dù các em vẽ tam giác to hay nhỏ, ba tỉ số sau đây luôn giữ nguyên:

sin θ = đối / huyềncos θ = kề / huyềntan θ = đối / kềSOH — CAH — TOA

Từ viết tắt SOH-CAH-TOA chỉ là ghép chữ cái đầu: Sin = Opp/Hyp, Cos = Adj/Hyp, Tan = Opp/Adj. Hãy dán vào trán các em trước khi vào phòng thi.

Khoảnh khắc "à ra vậy"

Chú ý mỗi tỉ số chỉ dùng đúng hai cạnh. Nếu đề cho một tỉ số bất kỳ cùng một cạnh bất kỳ, các em luôn có thể giải ra cạnh còn lại. Toàn bộ mẹo chỉ có vậy.

Ví dụ mẫu — tìm cạnh còn thiếu

Ta áp dụng vào một bài kiểu CBE. Từ một điểm trên mặt đất phẳng, cách chân tòa nhà 150 feet, các em đo góc nâng nhìn lên đỉnh tòa nhà là 32°. Tòa nhà cao bao nhiêu?

150 ft là cạnh kề với góc 32°. Chiều cao chưa biết h là cạnh đối. Ta không thấy cạnh huyền — nên cần tỉ số chỉ dùng cạnh kề và cạnh đối.

Bước 1 — xác định cái các em có và cái các em cần. Các em có cạnh kề (150 ft) và góc (32°). Các em cần cạnh đối (h).

Bước 2 — chọn tỉ số chỉ dùng đúng những phần đó. Chỉ tan làm được điều đó: đối / kề. Vậy:

tan 32° = h / 150h = 150 × tan 32°h = 150 × 0.625 = 93.75 ft

Vậy tòa nhà cao khoảng 94 feet. Toàn bộ phép tính chỉ mất ba dòng sau khi chọn đúng tan.

Cây quyết định

Khi gặp bài đố tam giác vuông, hãy tự hỏi: hai trong ba {đối, kề, huyền} nào có mặt? Đối + kề → tan. Đối + huyền → sin. Kề + huyền → cos. Chốt xong rồi mới viết.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Trong tam giác vuông, sin(θ) được định nghĩa là:

Kiểm tra nhanh #2

Từ đỉnh một tháp cao 50 feet, góc hạ nhìn xuống một điểm trên mặt đất là 30°. Điểm đó cách chân tháp bao xa? (Dùng tan 30° ≈ 0.577.)

Thử tự làm

Nắm được phương pháp rồi, đây là dạng bài các em sẽ gặp trong CBE. Bấm chọn đáp án để kiểm tra — lời giải hiện ngay bên dưới.

Thang dựa vào tường

Một chiếc thang dài 24 feet dựa vào tường, tạo với mặt đất một góc 65°. Thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu (làm tròn đến phần mười feet)? (sin 65° ≈ 0.906, cos 65° ≈ 0.423)

Góc dốc lối cho xe lăn

Một lối dốc cho xe lăn cần nâng lên 18 inch trên đoạn ngang 216 inch. Làm tròn đến phần mười độ, góc nghiêng của lối dốc là bao nhiêu? (Dùng tan⁻¹.)

Sẽ đi tiếp về đâu

SOH-CAH-TOA giải mọi bài tam giác vuông trong CBE khi đề cho một góc và một cạnh. Có hai phần mở rộng tự nhiên các em sẽ gặp ở bài sau:

Lượng giác ngược (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹) — dùng khi biết hai cạnh và cần tìm góc. Vẫn ba tỉ số ấy, chạy ngược.
Tam giác vuông đặc biệt (30-60-90 và 45-45-90) — các tỉ số chính xác có thể viết mà không cần máy tính. CBE rất hay hỏi.

Ngay lúc này, mục tiêu chiến thắng giống hệt CBE: gặp bài tam giác vuông nào cũng có thể chọn đúng tỉ số trong dưới năm giây. Chỉ vậy. Đó là toàn bộ bài học.