삼각형의 합동과 닮음: SSS·SAS·ASA·AA와 대표적인 함정

두 삼각형이 언제 완전히 같고, 언제 크기만 다른 복사본이며, AAA와 SSA는 왜 합동을 증명하지 못하는지 살펴봅니다. 유효한 다섯 가지 규칙과 닮음의 AA 지름길, 그리고 넓이·부피의 k² / k³ 스케일 법칙까지 정리합니다.

10 분TEKS 6A,6B,6D,7A,7B기하학

같은 모양 vs 같은 크기

눈앞에 두 개의 삼각형이 있습니다. 완전히 같은 삼각형인가요? 단지 크기만 다른 복사본인가요? 아니면 전혀 무관한가요? Texas Geometry CBE는 이런 질문을 여덟 문제 중 하나꼴로 출제하며 — 정답은 두 개의 정확한 어휘에 달려 있습니다.

핵심 아이디어

합동 = 모양과 크기가 같음(완벽한 복사본). 닮음 = 모양은 같지만 크기는 다를 수 있음(비율 복사본). 삼각형 문제는 결국 지금 묻는 것이 어느 쪽인지 아는 것에 달려 있습니다.

합동은 ≅로 표기하고 닮음은 ~로 표기합니다. 이 기호는 답안 선택지에도 등장하므로 반드시 외워 두시기 바랍니다.

합동 (≅): 대응하는 모든 변이 같고 또한 대응하는 모든 각이 같습니다. 두 삼각형이 완벽하게 겹칩니다.
닮음 (~): 대응하는 모든 각이 같고 또한 대응하는 변의 비가 같습니다. 모양은 같고 크기만 다릅니다.
닮음비 (scale factor): 닮은 두 도형의 대응 변의 비율입니다. 5 → 15이면 닮음비는 3입니다.

합동: 다섯 가지 규칙

여섯 부분(변 3개 + 각 3개)을 모두 확인할 필요는 없습니다. 정확히 다섯 개의 지름길이 존재합니다:

다섯 가지 유효한 규칙과 두 개의 유명한 함정입니다. CBE는 이 함정을 특히 즐겨 출제합니다.

함정: AAA & SSA

AAA(세 각이 모두 같음)는 두 삼각형이 닮음임을 말할 뿐 합동은 아닙니다. 크기가 다를 수 있습니다. SSA(두 변과 끼지 않은 각)는 유명한 "이중해의 경우"로, 완전히 다른 두 삼각형이 만들어질 수 있습니다. 둘 다 "합동을 증명할 수 없는 것은?" 유형의 문제에 자주 등장합니다.

올바른 규칙 고르기

두 삼각형의 세 쌍의 변이 각각 같습니다. 어떤 규칙으로 합동입니까?

함정 찾기

두 삼각형이 합동임을 증명하는 방법으로 옳지 않은 것은?

닮음: 비례식 기계

두 도형이 닮음이라는 것은 한쪽이 다른 쪽의 축소·확대판이라는 뜻입니다. 대응하는 각은 정확히 같고 대응하는 변은 비례합니다. 모르는 변을 구하려면 대응 변의 비례식을 세우시면 됩니다.

△ ABC ~ △ DEF이면,AB / DE = BC / EF = AC / DF두 비율을 교차 곱하면 모르는 변을 구할 수 있습니다.

예제 풀이

가로 12, 세로 8인 직사각형과 닮은 직사각형의 가로가 6입니다. 세로는 얼마입니까?

12 / L = 8 / 68 · L = 12 · 6L = 72 / 8 = 9여기서 닮음비는 6/8 = 3/4 — 작은 직사각형은 원래의 ¾입니다.

비례식 세우기

직사각형이 12×8입니다. 닮은 직사각형의 가로가 6입니다. 세로는 얼마입니까?

가장 빠른 닮음 규칙: AA

삼각형에서는 세 각을 모두 확인할 필요가 없습니다 — 두 각만 같으면 됩니다. 한 삼각형의 두 각이 다른 삼각형의 두 각과 같으면 두 삼각형은 닮음입니다(삼각형 내각의 합이 180°이므로 세 번째 각은 자동 결정됩니다).

AA 닮음

두 쌍의 각이 같음 ⇒ 두 삼각형이 닮음. 시험에서 가장 많이 쓰이는 닮음 도구이며 — 특히 태양의 앙각으로 두 개의 닮은 직각삼각형이 생기는 "그림자 문제"에서 자주 등장합니다.

그림자 문제 — 위장한 AA

대표적인 CBE 상황입니다: 나무가 그림자를 드리우고, 같은 시각에 사람도 그림자를 드리웁니다. 나무의 높이를 구하십시오. 두 직각삼각형은 태양의 앙각을 공유하고 둘 다 90°를 가지므로 — 두 쌍의 각이 같아서 닮음입니다.

두 삼각형이 태양 각도와 90° 각을 공유하므로 → AA 닮음 → 대응 변이 비례합니다.

나무 높이 / 5 = 18 / 6나무 높이 = 5 · (18 / 6) = 15 ft"나무 쪽"을 "사람 쪽" 위에 두고 교차 곱하시면 끝입니다.

그림자 문제

나무가 18피트의 그림자를 만듭니다. 같은 시각 5피트짜리 울타리 기둥이 3피트의 그림자를 만듭니다. 나무 높이는?

닮음비 제곱 · 세제곱 법칙

닮은 두 도형의 변의 비가 k라면, 넓이의 비는 k², 부피의 비는 k³입니다. 닮음 서술형 문제에서 점수 회수율이 가장 높은 법칙입니다.

변의 비: k넓이의 비: k²부피의 비: k³예: 변의 비 2:3 → 넓이의 비 4:9 → 부피의 비 8:27.

3초 요약

합동 ≅ — 모양과 크기가 같음. SSS, SAS, ASA, AAS, HL만 사용합니다.
닮음 ~ — 모양이 같고 크기만 다름. 대응 변의 비례식을 세우시면 됩니다.
AA는 삼각형의 닮음을 증명합니다(세 번째 각은 자동으로 결정됨).
AAA와 SSA는 절대 합동을 증명하지 못합니다 — CBE의 단골 함정입니다.
변의 비 k → 넓이의 비 k² → 부피의 비 k³.

스스로 확인하기

확인 문제 #1

다음 중 삼각형의 합동을 증명하는 공준이 아닌 것은?

확인 문제 #2

두 삼각형의 세 대응각이 모두 같다면, 두 삼각형은 반드시?