Toàn đẳng & Đồng dạng tam giác: SSS, SAS, ASA, AA và những cái bẫy nổi tiếng
Khi nào hai tam giác trùng khớp, khi nào chỉ là bản phóng to thu nhỏ, và vì sao AAA cùng SSA không bao giờ chứng minh toàn đẳng? Năm quy tắc hợp lệ, tắt AA cho đồng dạng, và quy tắc tỉ lệ k² / k³ cho diện tích và thể tích.
Cùng hình dạng vs. cùng kích thước
Hai tam giác trước mặt các em. Chúng có trùng khớp không? Chỉ là bản phóng to thu nhỏ? Hay không liên quan gì? Kỳ thi Texas Geometry CBE đặt câu hỏi kiểu này ở khoảng 1/8 số bài — và đáp án phụ thuộc vào hai thuật ngữ chính xác.
Toàn đẳng = cùng hình dạng và cùng kích thước (một bản sao hoàn hảo). Đồng dạng = cùng hình dạng, có thể khác kích thước (bản sao theo tỉ lệ). Mọi câu hỏi về tam giác đều xoay quanh việc biết đề đang hỏi loại nào.
- Toàn đẳng (≅)
- Mọi cạnh tương ứng bằng nhau và mọi góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác chồng khít.
- Đồng dạng (~)
- Mọi góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tỉ lệ. Cùng hình, khác kích thước.
- Tỉ số đồng dạng
- Tỉ số các cạnh tương ứng giữa hai hình đồng dạng. Nếu 5 → 15, tỉ số là 3.
Toàn đẳng: năm quy tắc
Các em không cần kiểm tra cả sáu bộ phận (3 cạnh + 3 góc). Có đúng năm lối tắt:
AAA (ba góc khớp) chỉ cho biết hai tam giác đồng dạng — không toàn đẳng. Chúng có thể khác kích thước. SSA (hai cạnh và một góc không xen giữa) là "trường hợp mơ hồ" nổi tiếng — có thể mô tả hai tam giác hoàn toàn khác nhau. Cả hai đều xuất hiện trong câu hỏi "cái nào KHÔNG chứng minh toàn đẳng?".
Đồng dạng: cỗ máy lập tỉ lệ
Hai hình đồng dạng khi hình này là bản phóng to/thu nhỏ của hình kia. Các góc khớp chính xác; các cạnh tỉ lệ. Muốn tìm cạnh còn thiếu, lập tỉ lệ các cạnh tương ứng.
Ví dụ mẫu
Một hình chữ nhật 12×8. Hình chữ nhật đồng dạng có chiều rộng 6. Chiều dài của nó là bao nhiêu?
Quy tắc đồng dạng nhanh nhất: AA
Với tam giác, các em không cần ba góc — chỉ cần hai. Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia, hai tam giác đồng dạng (góc thứ ba tự động khớp vì tổng ba góc bằng 180°).
Hai cặp góc bằng nhau ⇒ tam giác đồng dạng. Đây là công cụ đồng dạng dùng nhiều nhất trong kỳ thi — đặc biệt ở bài "bóng đổ" khi góc mặt trời tạo hai tam giác vuông đồng dạng.
Bài toán bóng đổ — AA cải trang
Kịch bản kinh điển của CBE: một cái cây đổ bóng, cùng lúc một người cũng đổ bóng — tìm chiều cao. Hai tam giác vuông chung góc nâng mặt trời và đều có góc 90° — hai cặp góc bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng.
Quy tắc bình phương tỉ số đồng dạng
Nếu hai hình đồng dạng có tỉ số cạnh là k, thì diện tích tỉ lệ theo k² và thể tích tỉ lệ theo k³. Đây là quy tắc hiệu suất cao nhất trong bài đố đồng dạng.
Tóm tắt 3 giây
- Toàn đẳng ≅ — cùng hình dạng & kích thước. Chỉ dùng SSS, SAS, ASA, AAS, HL.
- Đồng dạng ~ — cùng hình dạng, khác kích thước. Lập tỉ lệ các cạnh tương ứng.
- AA chứng minh đồng dạng cho tam giác (góc thứ ba tự khớp).
- AAA & SSA không bao giờ chứng minh toàn đẳng — bẫy quen thuộc của CBE.
- Tỉ số cạnh k → tỉ số diện tích k² → tỉ số thể tích k³.