Tam giác vuông đặc biệt: 30-60-90 và 45-45-90 không cần máy tính

Hai hình dạng tam giác vuông mà kỳ thi CBE của Texas rất ưa dùng. Chỉ cần thuộc một tỉ số cho mỗi dạng, các em có thể bỏ qua phần tính Pythagorean ở khoảng 1 trong 6 câu Hình học.

7 phútTEKS 7B,9BHình học

Vì sao "đặc biệt" nghĩa là "bỏ máy tính đi"

Định lý Pythagorean luôn đúng trên tam giác vuông — nhưng có hai dạng tam giác đặc biệt xuất hiện quá thường xuyên đến mức CBE thiết kế câu hỏi xoay quanh chúng. Với hai dạng này, các em không cần a² + b² = c². Chỉ cần một phép nhân duy nhất.

Ý tưởng lớn

Tam giác 30-60-90 và 45-45-90 có tỉ số cạnh cố định. Học thuộc tỉ số một lần, mọi bài toán thuộc hai dạng này đều có đáp án trong 5 giây.

Làm quen với hai hình dạng

Hai tam giác, hai tỉ số. Học thuộc một lần — dùng cả đời.

Quy tắc 45-45-90

Đây là một nửa hình vuông cắt theo đường chéo. Hai cạnh góc vuông bằng nhau, và cạnh huyền chỉ đơn giản là cạnh × √2.

Cả hai cạnh: xCạnh huyền: x√2Biết cạnh, nhân với √2 để ra cạnh huyền. Biết cạnh huyền, chia cho √2 để ra cạnh.

Ví dụ có lời giải

Cạnh = 8Cạnh huyền = 8 √2 ≈ 11,3Muốn giữ không dùng máy tính? Cứ để nguyên 8√2 — CBE thường liệt kê đáp án dưới dạng căn.

Nơi các em sẽ gặp

Hình vuông (đường chéo hình vuông = cạnh × √2), tam giác vuông cân, dốc 45°, và mọi bài "đường chéo hình vuông". Nếu thấy "hình vuông" và "đường chéo" trong cùng một câu, quy tắc này áp dụng.

Thử bài 45-45-90

Trong một tam giác 45-45-90, nếu một cạnh góc vuông là 8, cạnh huyền dài bao nhiêu?

Quy tắc 30-60-90

Đây là một nửa tam giác đều cắt theo đường trung tuyến. Ba cạnh có tỉ số nghiêm ngặt: 1 : √3 : 2. Việc các em nằm ở đâu trên tỉ số này phụ thuộc vào cạnh nào được gọi là x.

Cạnh ngắn (đối 30°): xCạnh dài (đối 60°): x√3Cạnh huyền (đối 90°): 2xCạnh ngắn nhất luôn đối diện góc nhỏ nhất. Cạnh dài nhất luôn đối diện góc vuông.

Neo vào cạnh ngắn

Cách nhanh nhất để giải mọi bài 30-60-90: tìm cạnh ngắn trước (gọi là x), rồi hai cạnh còn lại là x√3 và 2x. Đề bài cho gì cũng quy về x.

Ví dụ — biết cạnh ngắn

Cạnh ngắn = 7 ⇒ x = 7Cạnh dài = 7√3 ≈ 12,1Cạnh huyền = 2 · 7 = 14

Thử tình huống "biết cạnh ngắn"

Trong tam giác 30-60-90, cạnh ngắn hơn là 7. Cạnh huyền là bao nhiêu?

Ví dụ — biết cạnh huyền

Cùng tam giác, chiều khó hơn. Cạnh huyền = 16, tìm hai cạnh còn lại.

Cạnh huyền = 2x = 16 ⇒ x = 8Cạnh ngắn (a) = x = 8Cạnh dài (b) = x√3 = 8√3 ≈ 13,86Luôn giải x trước — mọi thứ khác đi theo.

Giải từ cạnh huyền

Trong tam giác 30-60-90 dưới đây, cạnh huyền là 16. Tìm độ dài các cạnh a và b.

Sai lầm phổ biến nhất

Đừng đổi √2 và √3

Cả hai quy tắc đều có căn bậc hai, và học sinh hay nhầm khi bị áp lực thời gian. Neo sự khác biệt như sau:

45-45-90 → dùng √2 → sinh ra từ hình vuông cắt chéo (2 cạnh hình vuông)
30-60-90 → dùng √3 → sinh ra từ tam giác đều cắt đôi (3 góc tam giác)

Bảng tra nhanh

Toàn bộ chủ đề trên một trang. Dán ở bàn học.

Tóm tắt 3 giây

45-45-90 → hai cạnh bằng nhau (x), cạnh huyền x√2. Nhớ "đường chéo hình vuông."
30-60-90 → tỉ số x : x√3 : 2x. Neo vào cạnh ngắn.
Nếu đáp án có căn (√2, √3), gần như chắc chắn đó là bài về tam giác vuông đặc biệt.
Cả hai hình vẫn thoả a² + b² = c² — tỉ số chỉ là lối tắt giúp bỏ qua bước bình phương.

Tiếp theo: Bằng nhau & đồng dạng của tam giác — các quy tắc quyết định khi nào hai tam giác cùng hình dạng, cùng kích thước, hay tỉ lệ.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Trong tam giác 45-45-90 có cạnh góc vuông 7, cạnh huyền là bao nhiêu?

Kiểm tra nhanh #2

Trong tam giác 30-60-90, cạnh đối 30° là 5. Cạnh đối 60° là bao nhiêu?