等差数列与等比数列:求第 n 项
等差数列每一步加上相同的数(线性模式)。等比数列每一步乘以相同的数(指数模式)。两个公式,一个策略:先识别,再代入。
模式就是数列
2, 5, 8, 11, ... — 每一步加上相同的量。2, 6, 18, 54, ... — 每一步乘以相同的数。它们都是数列:遵循某种规则的有序数字列表。Algebra 1 会要求你判断类型、找出规律,并用它来预测第 7 项、第 10 项或第 100 项。
等差数列(加)
an = a1 + (n − 1) · da1 = 首项, d = 公差用某一项减去前一项即得 d。整个数列中始终相同。
例题
数列:5, 9, 13, 17, ... 下一项是多少?
d = 9 − 5 = 4a5 = 17 + 4 = 21
下一项
等差数列 5, 9, 13, 17, ... 的下一项是什么?
📌 公差 d = 9 − 5 = 4。下一项 = 17 + 4 = 21。
公式例题:求第 8 项
a1 = 5, d = 3a8 = 5 + (8 − 1) · 3= 5 + 21 = 26
等差数列的第 n 项
等差数列:a₁=5, d=3。求 a₈。
📌 a₈ = 5 + (8−1)(3) = 5 + 21 = 26。
等比数列(乘)
an = a1 · r(n − 1)a1 = 首项, r = 公比用某一项除以前一项即得 r。整个数列中始终相同。
例题
数列:5, 10, 20, 40, ... 公比是多少?
r = 10 / 5 = 2每一项都是前一项的两倍。
求公比
等比数列:5,10,20,40,... 公比?
📌 r = 10/5 = 2。
如何区分
先“相减”,再“相除”
计算 a2 − a1 与 a3 − a2。相等? → 等差。不等?再算 a2/a1 与 a3/a2。相等? → 等比。都不成立? → 不是标准数列。
判断数列的类型
数列 2, 6, 18, 54 是等差还是等比?
📌 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3。公比 = 3 → 等比。
数列就是函数
重要联系
等差数列是一个离散的线性函数(公差就是斜率)。等比数列是一个离散的指数函数(公比就是底数 b)。同一数学思想,不同表达方式。
3秒回顾
- 等差 → 每一步加 d。an = a1 + (n − 1) · d
- 等比 → 每一步乘 r。an = a1 · rn−1
- 相减求 d。相除求 r。公式中是 (n − 1),不是 n。
自我检查
快速检查 #1
求等差数列 3, 7, 11, 15, … 的第 10 项。
公差 d = 4;首项 a₁ = 3。公式:aₙ = a₁ + (n−1)d。所以 a₁₀ = 3 + 9·4 = 3 + 36 = 39。
快速检查 #2
在等比数列 2, 6, 18, 54, … 中,公比是什么?
公比 r = aₙ₊₁ / aₙ = 6/2 = 3。验证:6·3=18, 18·3=54 ✓。每一项都是前一项的 3 倍。