斜率与一次函数图像:上升比水平及三种方程形式
斜率就是变化率——而变化率是Algebra 1的全部要义。掌握斜率公式、三种直线方程形式(斜截式、点斜式、标准式),以及分别何时使用。
斜率 = 变化率
如果说有一个概念贯穿Algebra 1,那就是斜率。每一道"速率"应用题、每个一次函数、每道平行或垂直题都离不开它。斜率不过是用一个数,概括了x变化时y变化得有多快。
m = (y2 − y1) / (x2 − x1) = 上升 / 水平在直线上任取两点。y相减,x相减,再相除。
斜率的四种类型
水平线的斜率
水平线的斜率是:
📌 水平线:y = 常数。没有上升。斜率 = 0。
垂直线的斜率
x=5的斜率?
📌 x=5是垂直线。斜率无定义。
三种方程形式
典型例题:求y轴截距
一条直线经过(0, −2)和(4, 6)。求y轴截距。
读点
y轴截距就是直线与y轴相交的地方——也就是x = 0时。看看这两点:(0, −2)。y轴截距正是x = 0时的y值。答案:−2。不用公式。
求y轴截距
一条直线经过(0, -2)和(4, 6)。y轴截距是?
y轴截距即x = 0时的y值。点(0, -2)在直线上,故y轴截距 = -2。
从零开始建立方程
斜率 = −1,过点(0, 3)。求方程。
y = mx + by = (−1)x + 3y = −x + 3当所给点恰好是y轴截距时,斜截式最快。
写出方程
求方程:斜率=−1,过(0,3)。
📌 y=−x+3(y轴截距为3)。
平行与垂直
两条斜率法则
平行直线 → 斜率相同(m1 = m2)。
垂直直线 → 斜率互为负倒数(m1 · m2 = −1)。
3秒回顾
- 斜率 = 上升 / 水平 = (Δy) / (Δx)
- 水平 → m = 0;垂直 → m无定义
- y = mx + b:m是斜率,b是y轴截距
- y − y₁ = m(x − x₁):已知一点+斜率时使用
- 平行 → 斜率相同;垂直 → 斜率互为负倒数
自我检查
快速检查 #1
求过点(2, 5)和(6, 13)的直线斜率。
斜率 = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (13 − 5)/(6 − 2) = 8/4 = 2。
快速检查 #2
直线2x − 3y = 12的y轴截距是?
y轴截距即x = 0时。代入:2(0) − 3y = 12 → −3y = 12 → y = −4。