多项式与因式分解:FOIL、GCF 与三大模式

用 FOIL 把两个二项式相乘,再反向操作就是因式分解。三个模式涵盖 CBE 里的大多数因式分解题:GCF、三项式 (x² + bx + c) 和平方差。

9 分钟TEKS 10A,10B,10D,10E,10F代数1

相乘与因式分解是互为镜像的两种运算

用 FOIL 把两个二项式相乘,可将 (x + 2)(x + 3) 变为 x² + 5x + 6。因式分解就是把同样的运算反过来——把 x² + 5x + 6 还原为 (x + 2)(x + 3)。一个方向是机械的操作;另一个方向则是 Algebra 1 中最常被考查的技能。

F → 首项。O → 外项。I → 内项。L → 末项。四个乘积相加即可。

在做任何其他因式分解之前,先问一句:"所有项有没有公因数?"如果有,先把它提出来。

3x² − 12 → GCF 为 3= 3(x² − 4)现在分解 x² − 4(平方差!)= 3(x − 2)(x + 2)

先提取 GCF 再因式分解

因式分解:3x²−12

对于 x² + bx + c,找两个数,乘积为 c,和为 b。

x² + 8x + 15需要:两个数,积 15,和 83 · 5 = 15,3 + 5 = 8 ✓= (x + 3)(x + 5)

符号判定的捷径

c > 0 且 b > 0:两个因数都为正。c > 0 且 b < 0:两个因数都为负。c < 0:一正一负 — 绝对值大的那个数带 b 的符号。

分解 c 为正的三项式

因式分解:x²+8x+15

分解 b 为负的三项式

因式分解:x² − 7x + 12

当 a ≠ 1,对于 ax² + bx + c,使用 AC 方法:找到乘积为 a·c、和为 b 的两个数,然后拆分中间项。

2x² + 7x + 3a·c = 6, 需要积为 6、和为 7 → 6 和 12x² + 6x + x + 32x(x + 3) + 1(x + 3)= (2x + 1)(x + 3)

首项系数不为 1 时的因式分解

因式分解:2x² + 7x + 3

a² − b² = (a − b)(a + b)两个完全平方数,中间是减号。平方和在实数范围内是不能因式分解的。

如何识别

找到两项,两个都是完全平方数,中间是减号。示例:x² − 9 = (x − 3)(x + 3)。4y² − 25 = (2y − 5)(2y + 5)。

结合情境分解多项式

一个矩形院子的面积由多项式 2x² + 7x + 3 平方英尺给出。以下哪对二项式可以表示该院子的长和宽?

快速检查 #1

因式分解:x² − 9。

快速检查 #2

相乘:(x + 5)(x − 2)。