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Aprender · Álgebra 1

Sucesiones aritméticas y geométricas: encuentra el término n-ésimo

Las sucesiones aritméticas suman el mismo número en cada paso (patrón lineal). Las geométricas multiplican por el mismo número en cada paso (patrón exponencial). Dos fórmulas, una sola estrategia: identifica y luego sustituye.

7 minTEKS 12C,12DÁlgebra 1

Los patrones son sucesiones

2, 5, 8, 11, ... — se suma la misma cantidad en cada paso. 2, 6, 18, 54, ... — se multiplica por el mismo número en cada paso. Ambas son sucesiones: listas ordenadas de números que siguen una regla. Álgebra 1 te pide identificar de qué tipo son, hallar la regla y usarla para predecir el 7.º, el 10.º o el 100.º término.

Sucesiones aritméticas (sumar)

an = a1 + (n − 1) · da1 = primer término, d = diferencia comúnResta cualquier término del siguiente para obtener d. El mismo valor a lo largo de toda la sucesión.

Ejemplo

Sucesión: 5, 9, 13, 17, ... ¿Cuál es el siguiente término?

d = 9 − 5 = 4a5 = 17 + 4 = 21
Siguiente término
¿Cuál es el siguiente término de la sucesión aritmética: 5, 9, 13, 17, ...?

Ejemplo con fórmula: halla el 8.º término

a1 = 5, d = 3a8 = 5 + (8 − 1) · 3= 5 + 21 = 26
Término n-ésimo de una sucesión aritmética
Sucesión aritmética: a₁=5, d=3. Halla a₈.

Sucesiones geométricas (multiplicar)

an = a1 · r(n − 1)a1 = primer término, r = razón comúnDivide cualquier término entre el anterior para obtener r. Se mantiene igual en toda la sucesión.

Ejemplo

Sucesión: 5, 10, 20, 40, ... ¿Cuál es la razón común?

r = 10 / 5 = 2Cada término es el doble del anterior.
Halla la razón común
Sucesión geométrica: 5,10,20,40,... ¿Razón común?

Cómo distinguirlas

Prueba primero “resta,” luego “divide”

Calcula a2 − a1 y a3 − a2. ¿Iguales? → aritmética. ¿Diferentes? Calcula a2/a1 y a3/a2. ¿Iguales? → geométrica. ¿Ninguno? → no es una sucesión estándar.

Identifica el tipo de sucesión
¿La sucesión 2, 6, 18, 54 es aritmética o geométrica?
La gran conexión

Una sucesión aritmética es una función lineal discreta (la diferencia común es la pendiente). Una sucesión geométrica es una función exponencial discreta (la razón común es la base b). Las mismas matemáticas, distinta notación.

Repaso en 3 segundos

  • Aritmética → suma d en cada paso. an = a1 + (n − 1) · d
  • Geométrica → multiplica por r en cada paso. an = a1 · rn−1
  • Resta para hallar d. Divide para hallar r. Usa (n − 1), no n, en la fórmula.

Compruébate

Comprobación rápida #1
Halla el 10.º término de la sucesión aritmética: 3, 7, 11, 15, …
Comprobación rápida #2
En la sucesión geométrica 2, 6, 18, 54, …, ¿cuál es la razón común?