指数函数:增长、衰减与翻倍法则
当变化率与当前数量成正比时,你就遇到了指数函数。掌握 y = a · b^x 形式、半衰期、复利,以及线性与指数在图像上的直观差异。
当变化率与当前数量成正比时
如果一个种群每年翻倍,或一种物质每5年损失一半的质量,或一个储蓄账户每年获得3%的利息 — 变化率取决于你现在拥有多少。这就是指数函数的标志。
线性 vs. 指数
线性:每一步加上相同的数量(斜率)。指数:每一步乘以相同的倍数。线性是加,指数是乘。
标准形式
y = a · bxa = 初始值(当 x = 0 时)b = 底数 / 每一步的倍数若 b > 1:指数增长。若 0 < b < 1:指数衰减。若 b = 1:只是一条水平线。
识别增长图像
指数增长的图像是:
📌 J型曲线。起始缓慢,迅速上升。
识别衰减
哪一个表示指数衰减?
📌 衰减:底数在 0 和 1 之间。y=5(0.7)ˣ 底数为 0.7 → 衰减。
增长率 vs 增长因子
增长:b = 1 + r (r = 增长率)衰减:b = 1 − r (r = 衰减率)3% 的利率意味着 b = 1.03。每年损失 5% 意味着 b = 0.95。
复利
储蓄账户里的钱按指数增长。以利率 r 存 t 年后:
A = P (1 + r)t$1000 按 3% 存 5 年:1000 · (1.03)5= 1000 · 1.159 ≈ $1159
复利
$1000 按年利率 3% 每年复利计息 5 年后是多少?
📌 A=1000(1.03)⁵=1000(1.1593)≈$1159.27
半衰期
对于放射性物质或任何“对半衰减”的情况,每经过一个半衰期,数量就乘以 ½。
100g,半衰期 5 年,15 年后15 / 5 = 3 个半衰期已过100 · (½)3 = 100 · ⅛ = 12.5g
半衰期计算
半衰期:100g 物质,半衰期 5 年。15 年后剩多少?
📌 15/5=3 个半衰期。100→50→25→12.5g
从表格中识别指数关系
比值恒定 = 指数
线性:每一步 y 值相差相同的数(1, 3, 5, 7, ... → 每次 +2)。指数:每一步 y 值乘以相同的因子(2, 6, 18, 54, ... → 每次 ×3)。检查相邻 y 值的比值;若恒定,则函数为指数函数。
从表格识别指数
线性 vs 指数:变化率恒定意味着:
📌 变化率恒定(差值相同)= 线性。比值恒定 = 指数。
3秒回顾
- y = a · bx:a = 初始值,b = 倍数
- b > 1 → 增长。0 < b < 1 → 衰减。
- 增长率 r → b = 1 + r。衰减率 r → b = 1 − r。
- 线性每次加相同的量;指数每次乘以相同的比。
- 半衰期:用已过时间除以半衰期周期 → 就是减半的次数。
自我检查
快速检查 #1
一种细菌每小时翻倍。从100个细胞开始,4小时后有多少?
指数增长:y = 100 · 2⁴ = 100 · 16 = 1,600。翻倍4次:100 → 200 → 400 → 800 → 1,600。
快速检查 #2
哪个函数表示指数衰减?
对于指数函数 y = a·bˣ,当 0 < b < 1 时发生衰减。这里 b = 0.5(一半),所以每一步值都在缩小。b > 1 是增长;线性/二次根本不是指数。