등차수열과 등비수열: n번째 항 구하기

등차수열은 매 단계마다 같은 수를 더합니다(일차 패턴). 등비수열은 매 단계마다 같은 수를 곱합니다(지수 패턴). 두 개의 공식, 하나의 전략 — 유형을 파악한 뒤 값을 대입하기만 하면 됩니다.

7 분TEKS 12C,12D대수학 1

패턴은 곧 수열입니다

2, 5, 8, 11, ... — 매 단계마다 같은 양이 더해집니다. 2, 6, 18, 54, ... — 매 단계마다 같은 수가 곱해집니다. 두 경우 모두 수열입니다: 규칙을 따르는 정돈된 숫자의 목록이지요. Algebra 1은 그 유형이 무엇인지 판별하고, 규칙을 찾은 뒤, 그 규칙을 사용해 7번째·10번째·100번째 항을 예측하도록 요구합니다.

등차수열(더하기)

a_n = a₁ + (n − 1) · da₁ = 첫째항, d = 공차다음 항에서 앞 항을 빼면 d가 나옵니다. 수열 전체에 걸쳐 값이 같습니다.

예시

수열: 5, 9, 13, 17, ... 다음 항은 무엇일까요?

d = 9 − 5 = 4a₅ = 17 + 4 = 21

다음 항

등차수열 5, 9, 13, 17, ...의 다음 항은 무엇인가요?

공식 예제: 8번째 항 구하기

a₁ = 5, d = 3a₈ = 5 + (8 − 1) · 3= 5 + 21 = 26

등차수열의 n번째 항

등차수열: a₁=5, d=3. a₈를 구하세요.

등비수열(곱하기)

a_n = a₁ · r^{(n − 1)}a₁ = 첫째항, r = 공비어떤 항을 그 앞 항으로 나누면 r이 나옵니다. 수열 전체에 걸쳐 값이 같습니다.

예시

수열: 5, 10, 20, 40, ... 공비는 얼마일까요?

r = 10 / 5 = 2각 항은 앞 항의 2배입니다.

공비 찾기

등비수열: 5,10,20,40,... 공비는?

두 수열 구별하기

먼저 “빼기,” 그다음 “나누기”

a₂ − a₁과 a₃ − a₂를 계산하세요. 같으면? → 등차. 다르면 a₂/a₁과 a₃/a₂를 계산하세요. 같으면? → 등비. 둘 다 아니면? → 표준적인 수열이 아닙니다.

수열의 유형 판별

수열 2, 6, 18, 54는 등차인가요, 등비인가요?

수열은 곧 함수입니다

중요한 연결점

등차수열은 이산적인 일차함수입니다(공차가 곧 기울기). 등비수열은 이산적인 지수함수입니다(공비가 곧 밑 b). 같은 수학, 다른 표기법일 뿐입니다.

3초 요약

등차 → 매 단계 d를 더함. a_n = a₁ + (n − 1) · d
등비 → 매 단계 r을 곱함. a_n = a₁ · rⁿ⁻¹
d는 빼기로. r은 나누기로. 공식에는 (n − 1)이지, n이 아닙니다.

스스로 점검

빠른 점검 #1

등차수열 3, 7, 11, 15, …의 10번째 항을 구하세요.

빠른 점검 #2

등비수열 2, 6, 18, 54, …의 공비는 무엇인가요?