二次函数:抛物线、顶点式与求根公式
每一个二次函数的图像都是抛物线。掌握顶点式,一眼看出顶点;当因式分解行不通时,用求根公式找出根。
每一个二次函数都是一条抛物线
二次函数是指最高次项为 x² 的方程。它的图像永远是一条抛物线 — 一个向上或向下开口的U形曲线。只要能读懂方程,不用画图软件,你就能画出图像、求出根,并定位顶点。
抛物线的结构
两种方程形式 — 同一条抛物线
一般式: y = ax2 + bx + c顶点式: y = a(x − h)2 + k在顶点式中,(h, k) 就是顶点。可以直接从方程读出来。
a 的符号决定开口方向
a > 0 → 开口向上(顶点是最小值)。
a < 0 → 开口向下(顶点是最大值)。
|a| 越大 → 越窄;|a| 越小 → 越宽。
顶点式的符号陷阱
y = a(x − h)² + k 用的是 减 h。所以 y = (x + 2)² + 4 中的 h = −2(不是 +2),顶点为 (−2, 4)。括号里符号要反过来读。
从顶点式读出顶点
y = −2(x−1)² + 5 的顶点是?
📌 顶点式 y = a(x−h)²+k。顶点 = (1, 5)。开口向下 (a=−2<0)。
顶点式判断方向 + 顶点
y=−(x+2)²+4。开口向上还是向下?顶点?
📌 a=−1<0 → 开口向下。顶点=(−2,4)。
由系数 a 判断方向
当 a 是下列哪种情况时,抛物线开口向下?
📌 y = ax² + bx + c。若 a < 0 → 开口向下。若 a > 0 → 开口向上。
从一般式求顶点
y = ax2 + bx + c顶点的 x 坐标:x = −b / (2a)y 坐标:把该 x 代回原方程同一个公式也给出对称轴:x = −b/(2a)。
因式分解行不通时:求根公式
有些二次方程不能整齐地因式分解。求根公式在任何情况下都能用。
对于 ax2 + bx + c = 0:x = ( −b ± √(b2 − 4ac) ) / (2a)b² − 4ac 这个量叫做判别式。它告诉你有多少个实根。
- 判别式 > 0
- 两个实根(抛物线与x轴相交两次)。
- 判别式 = 0
- 一个实根(抛物线只在顶点处与x轴相切)。
- 判别式 < 0
- 没有实根(抛物线不与x轴相交)。
例题
2x2 − 5x − 3 = 0 (a=2, b=−5, c=−3)x = (5 ± √(25 + 24)) / 4x = (5 ± √49) / 4 = (5 ± 7) / 4x = 3 或 x = −½
使用求根公式
用求根公式:2x²−5x−3=0
📌 x=(5±√(25+24))/4=(5±7)/4。x=3 或 x=−1/2
3秒回顾
- 一般式:y = ax² + bx + c。顶点式:y = a(x − h)² + k。
- a 的符号:正开口向上,负开口向下。
- 一般式求顶点:x = −b/(2a)。
- 求根公式:x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a)。
- 判别式:b² − 4ac → 告诉你实根的个数。
自我检查
快速检查 #1
抛物线 y = (x − 3)² + 4 的顶点是什么?
在顶点式 y = a(x − h)² + k 中,顶点为 (h, k)。括号内的符号要反过来读:(x − 3) → h = 3。所以顶点 = (3, 4)。
快速检查 #2
用因式分解解 x² − 5x + 6 = 0。
因式分解:找两个数相乘等于6、相加等于 −5。它们是 −2 和 −3。所以 (x − 2)(x − 3) = 0,得 x = 2 或 x = 3。