统计与数据分析：均值、中位数、众数与相关系数
均值、中位数和众数用一个数字概括整组数据——但它们讲的是不同的故事。此外还有"相关 vs 因果"以及如何解读相关系数。
用一个数概括一整组数据
统计学的艺术，就是把一串数字压缩成一个能代表"典型"或"中间"水平的值。Texas Algebra 1 CBE 会考三种集中趋势度量、一种离散度度量，以及相关性（correlation）的基础。
三种集中趋势度量
- Mean（均值 / 平均数）
- 把所有值相加再除以个数。对离群值（outlier）敏感。
- Median（中位数）
- 先排序。 中间那个值（若个数为偶，则取中间两值的平均）。对 outlier 稳健。
- Mode（众数）
- 出现次数最多的值。可以有多个众数，也可能没有。
例题：mean
Data: 4, 8, 12, 16, 20Sum = 60, count = 5Mean = 60 / 5 = 12
求均值
求下列数据的均值：4, 8, 12, 16, 20
Mean = sum/count = (4+8+12+16+20)/5 = 60/5 = 12。
例题：median
Data: 3, 7, 9, 11, 14, 18, 22 (已排序)Count = 7 → 中间是第 4 个值Median = 11若个数为偶（比如 8），则取第 4 和第 5 个值的平均。
求中位数
求 3, 7, 9, 11, 14, 18, 22 的中位数。
数据已排序，共 7 个值。中位数是中间（第 4 个）值，即 11。
中位数何时优于均值
Outlier 会拉偏均值
五个工资：40k, 42k, 45k, 50k, 2,000k（老板）。
Mean ≈ $435k — 具有误导性！Median = $45k — 更接近真实。
数据里出现极端值时，优先选择 median。
相关系数 (r)
Correlation coefficient r 衡量一条直线对散点图的拟合程度。取值始终在 −1 到 +1 之间。
解读 r
相关系数 r = −0.95 表示：
📌 r 接近 −1 → 强负相关。 x 增大时 y 减小。关系非常紧密。
Correlation vs causation
相关不等于因果
两个变量可能同步变化（correlation 很高），但并不意味着一方 导致 另一方。冰淇淋销量与溺水率都会在夏天升高——但冰淇淋并不导致溺水。真正原因是天气炎热。Causation 需要受控实验来证明，仅凭观察不够。
Causation 的定义
Causation（因果）的意思是：
📌 Causation = 一个变量直接引起另一个变量的变化。比相关关系强得多的断言。
3 秒复盘
- Mean = 均值。Median = 中位数（先排序）。Mode = 出现最多。
- 存在 outlier？优先用 median。
- r ∈ [−1, +1]：符号 = 方向，|r| = 强度。
- Correlation ≠ causation。
自我检验
Quick check #1
求下列数据的中位数：4, 8, 1, 6, 3, 8, 7。
先排序：1, 3, 4, 6, 7, 8, 8。7 个数，中位数是中间（第 4 个）值：6。
Quick check #2
哪一种集中趋势度量受极端 outlier 影响最大？
均值使用每一个值参与计算，因此单个巨大 outlier（比如 1,000,000）会把它猛拉一把。Median（中间值）和 mode（最常见值）几乎不受极端值影响。