函数与记号:f(x)、定义域、值域,以及垂直线判定法
函数是一条规则:输入一个数,产出一个输出。掌握 f(x) 记号、定义域/值域,以及垂直线判定法——它们是Algebra 1中所有方程与图像的基础。
函数是一条规则,不是一个数
如果说"求x"给你一个数,那么函数给你的是一条规则——一条能把任何输入变成一个确定输出的规则。一旦理解了 f(x) 记号,函数题就变成"代入一步"就能搞定的题目。
核心思想
函数是一台机器。你把x丢进去,规则处理一下,f(x)就出来了。同一个x进 → 同一个f(x)出,每次都如此。
在某个值处求 f(x)
要在某个数处求函数的值,只需把该数替换掉x。
f(x) = −x + 3f(3) = −(3) + 3f(3) = 0f(3) 表示"当 x = 3 时的输出"。把每一个 x 都替换为 3,再化简。
求 f(3)
f(x)=−x+3。f(3)=?
📌 f(3)=−3+3=0
反方向:由输出求输入
有时候会给你输出,让你反推输入。
f(x) = x + 10, f(x) = 25x + 10 = 25x = 15把规则等于给定的输出,然后求解 x。
由 f(x) 求 x
f(x)=x+10。当 f(x)=25 时,x=?
📌 25=x+10 → x=15
垂直线判定法
怎么判断一个图像是不是函数?在图像上任意位置画一条垂直线。如果你的垂直线在两个以上的位置与图像相交,那它就不是函数。
找出函数
下列关系中,哪个是函数?
函数要求每个输入 (x) 恰对应一个输出 (y)。第一个集合的x值都不重复,所以是函数。其他集合有重复的x值。
定义域 & 值域
- 定义域
- 函数所接受的所有 x 值(输入)。在图像上从横向去读。
- 值域
- 函数所产生的所有 y 值(输出)。在图像上从纵向去读。
两条要记住的限制
- 不能除以零 → 排除任何使分母为零的 x。
- 不能取负数的偶次根 → √ 号下的表达式必须 ≥ 0。
3秒回顾
- f(x) 表示"在 x 处评估这条规则"——代入并化简。
- 垂直线判定法:是函数 = 每一个 x 最多对应一个 y。
- 定义域 = 允许输入的 x;值域 = 产出的 y。
- 求定义域时要小心除以零和负数的偶次根。
自我检查
快速检查 #1
若 f(x) = 3x − 7,f(4) 等于多少?
代入 x = 4:f(4) = 3(4) − 7 = 12 − 7 = 5。
快速检查 #2
下列哪种图像不可能是函数?
垂直线通不过垂直线判定法——一个 x 值对应无穷多个 y 值,违反了函数的定义(每一个输入 → 恰好一个输出)。