Funciones exponenciales: crecimiento, decaimiento y la regla de duplicación

Cuando la tasa de cambio es proporcional a la cantidad, tienes una función exponencial. Domina la forma y = a · b^x, la vida media, el interés compuesto y la diferencia visual entre lineal y exponencial.

9 minTEKS 9A,9B,9C,9D,9EÁlgebra 1

Cuando el cambio es proporcional a la cantidad

Si una población se duplica cada año, o una sustancia pierde la mitad de su masa cada 5 años, o una cuenta de ahorros gana 3% de interés anual — la tasa de cambio depende de cuánto tienes en este momento. Esa es la característica esencial de una función exponencial.

Lineal vs exponencial

Lineal: se suma la misma cantidad en cada paso (la pendiente). Exponencial: se aplica el mismo multiplicador en cada paso. Lineal suma; exponencial multiplica.

La forma estándar

y = a · b^xa = valor inicial (cuando x = 0)b = base / multiplicador en cada pasoSi b > 1: crecimiento exponencial. Si 0 < b < 1: decaimiento exponencial. Si b = 1: solo una recta horizontal.

La curva de crecimiento sube hacia la derecha. La de decaimiento baja. Ambas pasan por (0, a) — el valor inicial.

Identificar una gráfica de crecimiento

Una gráfica de crecimiento exponencial es:

Identificar decaimiento

¿Cuál muestra decaimiento exponencial?

Tasa de crecimiento vs factor de crecimiento

crecimiento: b = 1 + r (r = tasa de crecimiento)decaimiento: b = 1 − r (r = tasa de decaimiento)Una tasa de interés del 3% significa b = 1.03. Una pérdida anual del 5% significa b = 0.95.

Interés compuesto

El dinero en una cuenta de ahorros sigue un crecimiento exponencial. Después de t años a una tasa r:

A = P (1 + r)^t$1000 al 3% durante 5 años: 1000 · (1.03)⁵= 1000 · 1.159 ≈ $1159

Interés compuesto

$1000 al 3% anual, compuesto anualmente durante 5 años, ¿cuánto es?

Vida media (half-life)

Para sustancias radiactivas o cualquier escenario de decaimiento a la mitad, después de cada período de vida media la cantidad se multiplica por ½.

100g, vida media 5 años, después de 15 años15 / 5 = 3 vidas medias transcurridas100 · (½)³ = 100 · ⅛ = 12.5g

Cálculo de vida media

Vida media: 100g de una sustancia con vida media de 5 años. ¿Cuánto queda después de 15 años?

Reconocer una exponencial en una tabla

Razón constante = exponencial

Lineal: cada paso en y difiere por la misma cantidad (1, 3, 5, 7, ... → +2 cada vez). Exponencial: cada paso en y se multiplica por el mismo factor (2, 6, 18, 54, ... → ×3 cada vez). Verifica la razón entre valores consecutivos de y; si es constante, la función es exponencial.

Exponencial desde una tabla

Lineal vs exponencial: una tasa de cambio constante significa:

Repaso en 3 segundos

y = a · b^x: a = valor inicial, b = multiplicador
b > 1 → crecimiento. 0 < b < 1 → decaimiento.
Tasa de crecimiento r → b = 1 + r. Tasa de decaimiento r → b = 1 − r.
Lo lineal suma la misma cantidad; lo exponencial multiplica por la misma razón.
Vida media: divide el tiempo transcurrido entre el período de vida media → ese es el número de veces que se reduce a la mitad.

Compruébate

Comprobación rápida #1

Un cultivo bacteriano se duplica cada hora. Empezando con 100 células, ¿cuántas habrá después de 4 horas?

Comprobación rápida #2

¿Qué función representa un DECAIMIENTO exponencial?