Hàm số mũ: Tăng trưởng, phân rã và quy tắc gấp đôi

Khi tốc độ thay đổi tỷ lệ với lượng hiện có, đó là hàm số mũ. Nắm vững dạng y = a · b^x, chu kỳ bán rã, lãi kép, và sự khác biệt trực quan giữa tuyến tính và hàm mũ.

9 phútTEKS 9A,9B,9C,9D,9EĐại số 1

Khi sự thay đổi tỷ lệ với lượng hiện có

Nếu một quần thể tăng gấp đôi mỗi năm, hay một chất mất một nửa khối lượng sau mỗi 5 năm, hay một tài khoản tiết kiệm sinh lãi 3% mỗi năm — tốc độ thay đổi phụ thuộc vào lượng các em đang có hiện tại. Đó chính là dấu hiệu của một hàm số mũ.

Tuyến tính vs. hàm mũ

Tuyến tính: cộng thêm cùng một lượng ở mỗi bước (hệ số góc). Hàm mũ: nhân với cùng một hệ số ở mỗi bước. Tuyến tính cộng; hàm mũ nhân.

Dạng chuẩn

y = a · b^xa = giá trị ban đầu (khi x = 0)b = cơ số / hệ số nhân ở mỗi bướcNếu b > 1: tăng trưởng mũ. Nếu 0 < b < 1: phân rã mũ. Nếu b = 1: chỉ là một đường thẳng nằm ngang.

Đường tăng trưởng cong lên bên phải. Đường phân rã cong xuống. Cả hai đều đi qua (0, a) — giá trị ban đầu.

Nhận diện đồ thị tăng trưởng

Đồ thị tăng trưởng mũ có dạng:

Nhận diện phân rã

Đâu là phân rã mũ?

Tỷ lệ tăng trưởng vs hệ số tăng trưởng

tăng trưởng: b = 1 + r (r = tỷ lệ tăng trưởng)phân rã: b = 1 − r (r = tỷ lệ phân rã)Lãi suất 3% nghĩa là b = 1.03. Mất 5% mỗi năm nghĩa là b = 0.95.

Lãi kép

Tiền trong tài khoản tiết kiệm tăng theo hàm mũ. Sau t năm với lãi suất r:

A = P (1 + r)^t$1000 với 3% trong 5 năm: 1000 · (1.03)⁵= 1000 · 1.159 ≈ $1159

Lãi kép

$1000 với lãi suất 3% mỗi năm, lãi kép hằng năm trong 5 năm?

Chu kỳ bán rã

Đối với chất phóng xạ hay bất kỳ tình huống phân rã theo nửa nào, sau mỗi chu kỳ bán rã lượng chất được nhân với ½.

100g, chu kỳ bán rã 5 năm, sau 15 năm15 / 5 = 3 chu kỳ bán rã đã trôi qua100 · (½)³ = 100 · ⅛ = 12.5g

Tính theo chu kỳ bán rã

Chu kỳ bán rã: 100g chất có chu kỳ bán rã 5 năm. Lượng chất còn lại sau 15 năm?

Nhận diện hàm mũ từ bảng

Tỷ số không đổi = hàm mũ

Tuyến tính: mỗi bước y chênh cùng một lượng (1, 3, 5, 7, ... → +2 mỗi bước). Hàm mũ: mỗi bước y được nhân với cùng một hệ số (2, 6, 18, 54, ... → ×3 mỗi bước). Hãy kiểm tra tỷ số giữa các giá trị y liên tiếp; nếu không đổi, hàm là hàm mũ.

Nhận diện hàm mũ từ bảng

Tuyến tính vs. hàm mũ: tốc độ thay đổi không đổi có nghĩa là:

Tóm tắt 3 giây

y = a · b^x: a = giá trị ban đầu, b = hệ số nhân
b > 1 → tăng trưởng. 0 < b < 1 → phân rã.
Tỷ lệ tăng trưởng r → b = 1 + r. Tỷ lệ phân rã r → b = 1 − r.
Tuyến tính cộng cùng một lượng; hàm mũ nhân với cùng một tỷ số.
Chu kỳ bán rã: chia thời gian đã trôi qua cho chu kỳ bán rã → đó là số lần giảm một nửa.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Một quần thể vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi giờ. Bắt đầu với 100 tế bào, sau 4 giờ có bao nhiêu tế bào?

Kiểm tra nhanh #2

Hàm nào biểu thị PHÂN RÃ mũ?