지수함수: 증가, 감소, 그리고 두 배 법칙

변화율이 현재 양에 비례할 때, 그것이 지수함수입니다. y = a · b^x 형태, 반감기, 복리, 그리고 일차함수와 지수함수의 시각적 차이까지 확실히 익혀봅시다.

9 분TEKS 9A,9B,9C,9D,9E대수학 1

변화가 현재 양에 비례할 때

어떤 인구가 매년 두 배로 늘어나거나, 어떤 물질이 5년마다 질량의 절반을 잃거나, 저축 계좌가 연 3%의 이자를 얻는다면 — 변화율은 현재 가진 양이 얼마인가에 달려 있습니다. 그것이 바로 지수함수의 특징입니다.

일차 vs 지수

일차: 매 단계마다 같은 양이 더해집니다(기울기). 지수: 매 단계마다 같은 배수가 곱해집니다. 일차는 더하고, 지수는 곱합니다.

y = a · b^xa = 시작값 (x = 0일 때)b = 밑 / 매 단계 배수b > 1이면 지수 증가. 0 < b < 1이면 지수 감소. b = 1이면 그냥 수평선.

증가 곡선은 오른쪽 위로 올라갑니다. 감소 곡선은 내려갑니다. 둘 다 (0, a) — 즉 시작값을 지납니다.

증가 그래프 식별

지수 증가의 그래프는 어떤 모양인가요?

감소 식별

지수 감소를 나타내는 것은?

증가: b = 1 + r (r = 증가 비율)감소: b = 1 − r (r = 감소 비율)3% 이자율은 b = 1.03을 뜻합니다. 연 5% 손실은 b = 0.95를 뜻합니다.

저축 계좌의 돈은 지수 증가를 따릅니다. 이자율 r로 t년이 지나면:

A = P (1 + r)^t$1000을 3%로 5년: 1000 · (1.03)⁵= 1000 · 1.159 ≈ $1159

복리 이자

$1000을 연 3% 이자로 매년 복리 계산하여 5년 후?

방사성 물질이나 절반씩 감소하는 상황에서는, 매 반감기 주기가 지날 때마다 양이 ½배로 곱해집니다.

100g, 반감기 5년, 15년 후15 / 5 = 반감기 3번 경과100 · (½)³ = 100 · ⅛ = 12.5g

반감기 계산

반감기: 5년 반감기를 갖는 100g 물질의 15년 후 양은?

일정한 비율 = 지수

일차: 각 y 단계가 같은 양만큼 차이가 납니다 (1, 3, 5, 7, ... → 매번 +2). 지수: 각 y 단계가 같은 인수로 곱해집니다 (2, 6, 18, 54, ... → 매번 ×3). 연속되는 y 값 사이의 비율을 확인하세요. 일정하면 지수함수입니다.

표에서 지수 판별

일차 vs 지수: 변화율이 일정하면 무슨 뜻인가요?

빠른 점검 #1

세균 배양이 매 시간마다 두 배가 됩니다. 100개로 시작할 때, 4시간 후에는 몇 개인가요?

빠른 점검 #2

지수 감소를 나타내는 함수는 무엇인가요?