함수와 표기법: f(x), 정의역, 치역, 그리고 수직선 판정법
함수는 하나의 입력을 받아 하나의 출력을 내는 규칙입니다. f(x) 표기법, 정의역/치역, 그리고 수직선 판정법을 익히면 Algebra 1의 모든 방정식과 그래프의 토대를 다지게 됩니다.
함수는 숫자가 아니라 규칙입니다
"x를 구하기"가 하나의 숫자를 준다면, 함수는 규칙을 줍니다 — 어떤 입력이든 하나의 출력으로 변환하는 규칙이지요. f(x) 표기법을 이해하고 나면 함수 문제는 단순한 "대입해서 정리하기" 한 단계가 됩니다.
핵심 아이디어
함수는 기계입니다. x를 넣으면 규칙이 처리해 f(x)가 나옵니다. 같은 x가 들어가면 → 언제나 같은 f(x)가 나옵니다.
특정 값에서 f(x) 계산하기
함수를 어떤 수에서 계산(평가)하려면, 그 수를 x 자리에 대입하면 됩니다.
f(x) = −x + 3f(3) = −(3) + 3f(3) = 0f(3)은 "x = 3일 때의 출력"을 뜻합니다. 모든 x를 3으로 바꾼 뒤 정리합니다.
f(3)을 계산하세요
f(x)=−x+3. f(3)=?
📌 f(3)=−3+3=0
역방향: 입력 값을 구하기
때로는 출력이 주어지고 입력을 찾아야 할 때가 있습니다.
f(x) = x + 10, f(x) = 25x + 10 = 25x = 15규칙을 주어진 출력과 같다고 두고 x에 대해 풉니다.
f(x)가 주어졌을 때 x 구하기
f(x)=x+10. f(x)=25일 때 x를 구하세요.
📌 25=x+10 → x=15
수직선 판정법
어떤 그래프가 함수인지 어떻게 알까요? 그래프 위의 아무 위치에나 수직선을 하나 내려봅니다. 수직선이 그래프와 두 점 이상에서 만나는 순간이 있다면, 그 그래프는 함수가 아닙니다.
함수를 골라보세요
다음 관계 중 함수인 것은?
함수는 각 입력 (x)를 오직 하나의 출력 (y)에 대응시켜야 합니다. 첫 번째 집합은 x 값이 모두 다르므로 함수입니다. 나머지는 같은 x가 반복됩니다.
정의역과 치역
- 정의역
- 함수가 받아들이는 모든 x 값(입력)입니다. 그래프에서 가로 방향으로 읽습니다.
- 치역
- 함수가 만들어내는 모든 y 값(출력)입니다. 그래프에서 세로 방향으로 읽습니다.
기억해야 할 두 가지 제한
- 0으로 나눌 수 없음 → 분모를 0으로 만드는 x는 제외합니다.
- 음수의 짝수제곱근은 실수가 아님 → √ 안의 식은 ≥ 0이어야 합니다.
3초 요약
- f(x)는 "x에서 평가된 규칙"을 뜻합니다 — 대입하고 정리하세요.
- 수직선 판정법: 함수 = 각 x에 대해 y가 최대 하나.
- 정의역 = 허용되는 x 입력; 치역 = 나오는 y 출력.
- 정의역을 구할 때는 0으로 나누기와 음수의 짝수제곱근을 주의하세요.
스스로 점검
빠른 점검 #1
f(x) = 3x − 7일 때, f(4)는?
x = 4를 대입: f(4) = 3(4) − 7 = 12 − 7 = 5.
빠른 점검 #2
함수가 될 수 없는 그래프는 어느 것인가요?
수직선은 수직선 판정법을 통과하지 못합니다 — 하나의 x 값에 무수히 많은 y 값이 대응되어 함수의 정의(각 입력 → 정확히 하나의 출력)를 어기기 때문입니다.