Polinomios y factorización: FOIL, MCF y los tres patrones

Multiplica binomios con FOIL y luego recorre el proceso al revés para factorizar. Tres patrones cubren la mayoría de las preguntas de factorización del CBE: MCF, trinomio (x² + bx + c) y diferencia de cuadrados.

9 minTEKS 10A,10B,10D,10E,10FÁlgebra 1

Multiplicar y factorizar son operaciones espejo

Multiplicar binomios con FOIL convierte (x + 2)(x + 3) en x² + 5x + 6. Factorizar recorre la misma operación al revés — devolviendo x² + 5x + 6 a (x + 2)(x + 3). Una dirección es mecánica; la otra es la habilidad más evaluada en Álgebra 1.

FOIL: First, Outer, Inner, Last (Primeros, Externos, Internos, Últimos)

F → Primeros términos. O → Externos. I → Internos. L → Últimos. Suma los cuatro productos.

Patrón 1: siempre saca el MCF primero

Antes de cualquier otro paso de factorización, pregunta: "¿Comparten todos los términos un factor?" Si sí, sácalo como factor común.

3x² − 12 → MCF es 3= 3(x² − 4)Ahora factoriza x² − 4 (¡diferencia de cuadrados!)= 3(x − 2)(x + 2)

Factoriza con MCF primero

Factoriza: 3x²−12

Patrón 2: Trinomio (x² + bx + c)

Para x² + bx + c, encuentra dos números que multiplicados den c y sumados den b.

x² + 8x + 15Necesito: dos números, producto 15, suma 83 · 5 = 15, 3 + 5 = 8 ✓= (x + 3)(x + 5)

Atajo para leer los signos

c > 0 y b > 0: ambos factores positivos. c > 0 y b < 0: ambos negativos. c < 0: uno positivo y uno negativo — el de mayor valor absoluto lleva el signo de b.

Factoriza un trinomio con c positivo

Factoriza: x²+8x+15

Factoriza un trinomio con b negativo

Factoriza: x² − 7x + 12

Trinomio cuando el coeficiente principal ≠ 1

Para ax² + bx + c cuando a ≠ 1, usa el método AC: halla dos números que multiplicados den a·c y sumados den b, luego separa el término del medio.

2x² + 7x + 3a·c = 6, producto 6, suma 7 → 6 y 12x² + 6x + x + 32x(x + 3) + 1(x + 3)= (2x + 1)(x + 3)

Factoriza con coeficiente principal

Factoriza: 2x² + 7x + 3

Patrón 3: diferencia de cuadrados

a² − b² = (a − b)(a + b)Dos cuadrados perfectos con un signo menos entre ellos. La suma de cuadrados NO se factoriza en los reales.

Cómo detectar el patrón

Busca dos términos, ambos cuadrados perfectos, con un signo menos entre ellos. Ejemplos: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). 4y² − 25 = (2y − 5)(2y + 5).

Aplicación a problema con enunciado

Factoriza un polinomio en contexto

El área de un jardín rectangular está dada por el polinomio 2x² + 7x + 3 pies cuadrados. ¿Cuál par de binomios podría representar el largo y el ancho del jardín?

Repaso en 3 segundos

FOIL → Primeros, Externos, Internos, Últimos (multiplicar binomios)
Saca siempre el MCF primero antes de cualquier otra factorización
Trinomio x² + bx + c → halla dos números con producto c y suma b
Coeficiente principal ≠ 1 → método AC (separa el término del medio)
Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a − b)(a + b)

Compruébate

Comprobación rápida #1

Factoriza: x² − 9.

Comprobación rápida #2

Multiplica: (x + 5)(x − 2).