Đa thức và phân tích thành nhân tử: FOIL, ƯCLN và ba dạng chính

Nhân hai nhị thức bằng FOIL, rồi làm ngược lại để phân tích thành nhân tử. Ba dạng chính bao trùm phần lớn câu hỏi phân tích nhân tử của CBE: ƯCLN, tam thức (x² + bx + c) và hiệu hai bình phương.

9 phútTEKS 10A,10B,10D,10E,10FĐại số 1

Nhân và phân tích thành nhân tử là hai phép toán soi gương

Dùng FOIL để nhân hai nhị thức biến (x + 2)(x + 3) thành x² + 5x + 6. Phân tích thành nhân tử chính là thực hiện thao tác ấy ngược lại — đưa x² + 5x + 6 trở về (x + 2)(x + 3). Chiều xuôi thì máy móc; chiều ngược lại là kỹ năng được kiểm tra nhiều nhất trong Algebra 1.

FOIL: First, Outer, Inner, Last (Đầu, Ngoài, Trong, Cuối)

F → hạng tử Đầu. O → Ngoài. I → Trong. L → Cuối. Cộng cả bốn tích lại.

Dạng 1: Luôn rút ƯCLN ra trước

Trước bất kỳ thao tác phân tích nào khác, hãy tự hỏi: "Các hạng tử có nhân tử chung nào không?" Nếu có, hãy đặt nó ra ngoài.

3x² − 12 → ƯCLN là 3= 3(x² − 4)Bây giờ phân tích x² − 4 (hiệu hai bình phương!)= 3(x − 2)(x + 2)

Phân tích, rút ƯCLN trước

Phân tích: 3x²−12

Dạng 2: Tam thức (x² + bx + c)

Với x² + bx + c, hãy tìm hai số có tích bằng c và tổng bằng b.

x² + 8x + 15Cần: hai số, tích 15, tổng 83 · 5 = 15, 3 + 5 = 8 ✓= (x + 3)(x + 5)

Mẹo đọc dấu nhanh

c > 0 và b > 0: cả hai nhân tử đều dương. c > 0 và b < 0: cả hai đều âm. c < 0: một dương, một âm — số có giá trị tuyệt đối lớn hơn mang dấu của b.

Phân tích tam thức với c dương

Phân tích: x²+8x+15

Phân tích tam thức với b âm

Phân tích: x² − 7x + 12

Tam thức khi hệ số dẫn ≠ 1

Với ax² + bx + c khi a ≠ 1, dùng phương pháp AC: tìm hai số có tích bằng a·c và tổng bằng b, rồi tách hạng tử giữa.

2x² + 7x + 3a·c = 6, cần tích 6, tổng 7 → 6 và 12x² + 6x + x + 32x(x + 3) + 1(x + 3)= (2x + 1)(x + 3)

Phân tích khi có hệ số dẫn

Phân tích: 2x² + 7x + 3

Dạng 3: Hiệu hai bình phương

a² − b² = (a − b)(a + b)Hai bình phương chính phương với dấu trừ giữa. Tổng hai bình phương KHÔNG phân tích được trên tập số thực.

Nhận diện dạng

Hãy tìm hai hạng tử, cả hai đều là bình phương chính phương, và ở giữa có dấu trừ. Ví dụ: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). 4y² − 25 = (2y − 5)(2y + 5).

Áp dụng vào bài toán có lời văn

Phân tích đa thức trong ngữ cảnh

Diện tích của một khoảnh sân hình chữ nhật được cho bởi đa thức 2x² + 7x + 3 feet vuông. Cặp nhị thức nào có thể biểu diễn chiều dài và chiều rộng của khoảnh sân?

Tóm tắt 3 giây

FOIL → First, Outer, Inner, Last (nhân hai nhị thức)
Luôn rút ƯCLN ra trước mọi thao tác phân tích khác
Tam thức x² + bx + c → tìm hai số tích c, tổng b
Hệ số dẫn khác 1 → phương pháp AC (tách hạng tử giữa)
Hiệu hai bình phương: a² − b² = (a − b)(a + b)

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Phân tích: x² − 9.

Kiểm tra nhanh #2

Nhân: (x + 5)(x − 2).