다항식과 인수분해: FOIL, GCF, 그리고 세 가지 패턴

FOIL로 이항식을 곱한 뒤, 같은 과정을 거꾸로 돌리면 인수분해가 됩니다. GCF, 삼항식 (x² + bx + c), 제곱의 차 — 이 세 가지 패턴이 CBE 인수분해 문제의 대부분을 다룹니다.

9 분TEKS 10A,10B,10D,10E,10F대수학 1

곱하기와 인수분해는 거울과 같은 연산입니다

FOIL로 이항식을 곱하면 (x + 2)(x + 3)이 x² + 5x + 6이 됩니다. 인수분해는 같은 과정을 거꾸로 진행하여 — x² + 5x + 6을 다시 (x + 2)(x + 3)로 되돌리는 일입니다. 한쪽 방향은 기계적이지만, 다른 쪽은 Algebra 1에서 가장 많이 시험 보는 기술입니다.

FOIL: First, Outer, Inner, Last (첫째항, 바깥, 안쪽, 마지막)

F → First(첫째항). O → Outer(바깥). I → Inner(안쪽). L → Last(마지막). 네 곱을 모두 더합니다.

패턴 1: 언제나 GCF를 먼저 뽑아냅니다

다른 인수분해 절차 전에 먼저 물어보세요: "모든 항이 공약수를 갖는가?" 그렇다면 그것을 먼저 묶어내세요.

3x² − 12 → GCF는 3= 3(x² − 4)이제 x² − 4를 인수분해 (제곱의 차!)= 3(x − 2)(x + 2)

먼저 GCF로 인수분해

인수분해: 3x²−12

패턴 2: 삼항식 (x² + bx + c)

x² + bx + c의 경우, 곱하면 c가 되고 더하면 b가 되는 두 수를 찾습니다.

x² + 8x + 15필요: 두 수, 곱 15, 합 83 · 5 = 15, 3 + 5 = 8 ✓= (x + 3)(x + 5)

부호 판별 단축법

c > 0 이고 b > 0: 두 인수 모두 양수. c > 0 이고 b < 0: 두 인수 모두 음수. c < 0: 한 인수는 양수, 한 인수는 음수 — 절댓값이 더 큰 쪽이 b의 부호를 갖습니다.

c가 양수인 삼항식 인수분해

인수분해: x²+8x+15

b가 음수인 삼항식 인수분해

인수분해: x² − 7x + 12

최고차 계수 ≠ 1인 삼항식

a ≠ 1인 ax² + bx + c의 경우, AC 방법을 사용합니다: 곱이 a·c이고 합이 b인 두 수를 찾은 뒤, 가운데 항을 두 항으로 쪼갭니다.

2x² + 7x + 3a·c = 6, 곱 6, 합 7 → 6과 12x² + 6x + x + 32x(x + 3) + 1(x + 3)= (2x + 1)(x + 3)

최고차 계수가 있는 경우의 인수분해

인수분해: 2x² + 7x + 3

패턴 3: 제곱의 차

a² − b² = (a − b)(a + b)두 개의 완전제곱수 사이에 마이너스 부호가 있는 형태입니다. 제곱의 합은 실수 범위에서는 인수분해되지 않습니다.

패턴 알아보기

두 항이 있고, 둘 다 완전제곱수이며, 사이에 마이너스가 있는지 확인하세요. 예: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). 4y² − 25 = (2y − 5)(2y + 5).

문장제 적용

맥락 속 다항식 인수분해

직사각형 마당의 넓이가 다항식 2x² + 7x + 3 제곱피트로 주어집니다. 마당의 가로와 세로를 나타낼 수 있는 이항식 쌍은?

3초 요약

FOIL → First, Outer, Inner, Last (이항식 곱하기)
다른 인수분해 전에 언제나 GCF를 먼저 뽑아냅니다
삼항식 x² + bx + c → 곱이 c이고 합이 b인 두 수 찾기
최고차 계수가 1이 아니면 → AC 방법(가운데 항 쪼개기)
제곱의 차: a² − b² = (a − b)(a + b)

스스로 점검

빠른 점검 #1

인수분해: x² − 9.

빠른 점검 #2

곱하세요: (x + 5)(x − 2).