이차함수: 포물선, 꼭짓점 형태, 그리고 근의 공식

모든 이차함수의 그래프는 포물선입니다. 꼭짓점 형태를 익혀 꼭짓점을 한눈에 읽어내고, 인수분해가 어려울 때는 근의 공식으로 근을 구하는 법을 배워봅시다.

10 분TEKS 6A,6B,6C,7A,7B,7C,8A대수학 1

모든 이차함수는 포물선입니다

이차함수는 최고 차수의 항이 x²인 모든 방정식을 뜻합니다. 그 그래프는 항상 포물선 — 위 또는 아래로 열려 있는 U자 모양입니다. 식을 읽는 법만 익히면, 그래프 소프트웨어 없이도 그래프를 스케치하고 근을 구하며 꼭짓점의 위치를 찾을 수 있습니다.

꼭짓점 = 가장 낮은 점(또는 가장 높은 점). 대칭축 = 꼭짓점을 지나는 수직선. 근 = 포물선이 x축과 만나는 점.

표준형: y = ax² + bx + c꼭짓점 형태: y = a(x − h)² + k꼭짓점 형태에서 (h, k)가 곧 꼭짓점입니다. 식에서 바로 읽어낼 수 있습니다.

a의 부호가 방향을 결정합니다

a > 0 → 위로 열림 (꼭짓점이 최솟값).
a < 0 → 아래로 열림 (꼭짓점이 최댓값).
|a|가 크면 → 폭이 좁고, 작으면 → 폭이 넓습니다.

꼭짓점 형태의 부호 함정

y = a(x − h)² + k는 −h를 사용합니다. 그래서 y = (x + 2)² + 4의 h는 −2(+2가 아님)이며, 꼭짓점은 (−2, 4)가 됩니다. 괄호 안 부호는 항상 반대로 읽어야 합니다.

꼭짓점 형태에서 꼭짓점 읽기

y = −2(x−1)² + 5의 꼭짓점은?

꼭짓점 형태에서 방향 + 꼭짓점

y=−(x+2)²+4. 위로 열림? 아래로 열림? 꼭짓점은?

계수 a로 방향 판별

포물선이 아래로 열리는 것은 a가 어떨 때인가요?

y = ax² + bx + c꼭짓점의 x좌표: x = −b / (2a)y좌표: 그 x를 식에 대입같은 공식이 대칭축도 알려줍니다: x = −b/(2a).

어떤 이차식은 예쁘게 인수분해되지 않습니다. 근의 공식은 언제나 통합니다.

ax² + bx + c = 0에 대해:x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / (2a)b² − 4ac라는 값을 판별식이라고 합니다. 실근이 몇 개인지 알려줍니다.

2x² − 5x − 3 = 0 (a=2, b=−5, c=−3)x = (5 ± √(25 + 24)) / 4x = (5 ± √49) / 4 = (5 ± 7) / 4x = 3 또는 x = −½

근의 공식 적용

근의 공식 사용: 2x²−5x−3=0

빠른 점검 #1

포물선 y = (x − 3)² + 4의 꼭짓점은 무엇인가요?

빠른 점검 #2

인수분해로 x² − 5x + 6 = 0을 푸세요.