Hàm số bậc hai: Parabol, dạng đỉnh và công thức nghiệm bậc hai

Mọi hàm số bậc hai đều có đồ thị là parabol. Nắm vững dạng đỉnh để nhìn ra đỉnh ngay lập tức, và công thức nghiệm bậc hai để tìm nghiệm khi phân tích thành nhân tử không thành công.

10 phútTEKS 6A,6B,6C,7A,7B,7C,8AĐại số 1

Mọi hàm số bậc hai đều là một parabol

Hàm số bậc hai là bất kỳ phương trình nào có bậc cao nhất là x². Đồ thị của nó luôn là một parabol — hình chữ U mở lên hoặc mở xuống. Khi các em đã đọc được phương trình, các em có thể phác đồ thị, tìm nghiệm và xác định đỉnh mà không cần phần mềm vẽ đồ thị nào cả.

Cấu tạo của một parabol

Đỉnh = điểm thấp nhất (hoặc cao nhất). Trục đối xứng = đường thẳng đứng đi qua đỉnh. Nghiệm = nơi parabol cắt trục x.

Hai dạng phương trình — cùng một parabol

Dạng chuẩn: y = ax² + bx + cDạng đỉnh: y = a(x − h)² + kỞ dạng đỉnh, (h, k) chính là đỉnh. Đọc trực tiếp từ phương trình.

Dấu của a nói lên mọi thứ về hướng mở

a > 0 → mở lên (đỉnh là điểm thấp nhất).
a < 0 → mở xuống (đỉnh là điểm cao nhất).
|a| càng lớn → càng hẹp; |a| càng nhỏ → càng rộng.

Bẫy dấu trong dạng đỉnh

y = a(x − h)² + k dùng trừ h. Vì vậy y = (x + 2)² + 4 có h = −2 (không phải +2), cho đỉnh (−2, 4). Luôn đọc dấu ngược lại với dấu bên trong ngoặc.

Đọc đỉnh từ dạng đỉnh

Đỉnh của y = −2(x−1)² + 5?

Hướng + đỉnh từ dạng đỉnh

y=−(x+2)²+4. Mở lên hay mở xuống? Đỉnh?

Hướng mở từ hệ số a

Một parabol mở xuống khi a là:

Tìm đỉnh từ dạng chuẩn

y = ax² + bx + choành độ đỉnh: x = −b / (2a)tung độ: thay x đó vào lại phương trìnhCùng công thức đó cho các em trục đối xứng: x = −b/(2a).

Khi phân tích thành nhân tử không được: công thức nghiệm bậc hai

Một số phương trình bậc hai không phân tích được thành nhân tử một cách gọn gàng. Công thức nghiệm bậc hai luôn hiệu quả.

Với ax² + bx + c = 0:x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / (2a)Giá trị b² − 4ac gọi là biệt thức (discriminant). Nó cho biết có bao nhiêu nghiệm thực.

Biệt thức > 0: Hai nghiệm thực (parabol cắt trục x hai lần).
Biệt thức = 0: Một nghiệm thực (parabol chỉ tiếp xúc trục x tại đỉnh).
Biệt thức < 0: Không có nghiệm thực (parabol không bao giờ cắt trục x).

Ví dụ có lời giải

2x² − 5x − 3 = 0 (a=2, b=−5, c=−3)x = (5 ± √(25 + 24)) / 4x = (5 ± √49) / 4 = (5 ± 7) / 4x = 3 hoặc x = −½

Dùng công thức nghiệm bậc hai

Dùng công thức nghiệm bậc hai: 2x²−5x−3=0

Tóm tắt 3 giây

Dạng chuẩn: y = ax² + bx + c. Dạng đỉnh: y = a(x − h)² + k.
Dấu của a: dương thì mở lên, âm thì mở xuống.
Đỉnh từ dạng chuẩn: x = −b/(2a).
Công thức nghiệm bậc hai: x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a).
Biệt thức: b² − 4ac → cho biết số nghiệm thực.

Tự kiểm tra

Kiểm tra nhanh #1

Đỉnh của parabol y = (x − 3)² + 4 là gì?

Kiểm tra nhanh #2

Giải x² − 5x + 6 = 0 bằng cách phân tích thành nhân tử.