Funciones cuadráticas: parábolas, forma vértice y la fórmula cuadrática
Toda función cuadrática se grafica como una parábola. Domina la forma vértice para leer el vértice a simple vista, y la fórmula cuadrática para hallar las raíces cuando factorizar no funciona.
Toda cuadrática es una parábola
Una función cuadrática es cualquier ecuación cuyo término de mayor grado es x². Su gráfica es siempre una parábola — una forma de U que abre hacia arriba o hacia abajo. En cuanto sabes leer la ecuación, puedes esbozar la gráfica, hallar las raíces y ubicar el vértice sin ningún software de graficación.
Anatomía de una parábola
Dos formas de ecuación — la misma parábola
a > 0 → abre hacia arriba (el vértice es el mínimo).
a < 0 → abre hacia abajo (el vértice es el máximo).
Mayor |a| → más angosta; menor |a| → más ancha.
y = a(x − h)² + k usa menos h. Así que y = (x + 2)² + 4 tiene h = −2 (no +2), lo que da un vértice de (−2, 4). Siempre lee el signo opuesto al que aparece dentro del paréntesis.
El vértice a partir de la forma estándar
Cuando factorizar falla: la fórmula cuadrática
Algunas cuadráticas no se factorizan de forma limpia. La fórmula cuadrática siempre funciona.
- Discriminante > 0
- Dos raíces reales (la parábola cruza el eje x dos veces).
- Discriminante = 0
- Una raíz real (la parábola solo toca el eje x en el vértice).
- Discriminante < 0
- Sin raíces reales (la parábola nunca cruza el eje x).
Ejemplo resuelto
Repaso en 3 segundos
- Forma estándar: y = ax² + bx + c. Forma vértice: y = a(x − h)² + k.
- Signo de a: positivo abre hacia arriba, negativo abre hacia abajo.
- Vértice desde la forma estándar: x = −b/(2a).
- Fórmula cuadrática: x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a).
- Discriminante: b² − 4ac → te indica el número de raíces reales.