기울기와 일차 그래프: 상승/이동, 그리고 세 가지 방정식 형태
기울기는 변화율이며 — 변화율은 Algebra 1의 핵심 그 자체입니다. 기울기 공식, 세 가지 직선 방정식(기울기-절편, 점-기울기, 표준형), 그리고 각각을 언제 쓰는지 익히세요.
기울기 = 변화율
Algebra 1을 관통하는 개념이 하나 있다면 그것은 기울기입니다. 모든 "비율" 문제, 모든 일차함수, 평행선·수직선 문제까지 전부 기울기에 달려 있습니다. 기울기는 x가 변할 때 y가 얼마나 빨리 변하는지를 담아낸 하나의 숫자입니다.
m = (y2 − y1) / (x2 − x1) = 상승 / 이동직선 위 임의의 두 점을 잡으세요. y끼리 빼고, x끼리 빼고, 나눕니다.
기울기의 네 가지 유형
수평선의 기울기
수평선의 기울기는:
📌 수평선: y = 상수. 상승이 없음. 기울기 = 0.
수직선의 기울기
x=5의 기울기는?
📌 x=5는 수직선. 기울기는 정의되지 않습니다.
세 가지 방정식 형태
풀이 예시: y절편 구하기
한 직선이 (0, −2)와 (4, 6)을 지납니다. y절편을 구하세요.
점을 읽으세요
y절편은 직선이 y축과 만나는 지점 — 즉 x = 0일 때입니다. 점을 보세요: (0, −2). y절편은 바로 x = 0일 때의 y값입니다. 정답: −2. 공식은 필요 없습니다.
y절편 구하기
직선이 (0, -2)와 (4, 6)을 지납니다. y절편은?
y절편은 x = 0일 때의 y값. 점 (0, -2)가 직선 위에 있으므로 y절편 = -2.
방정식을 처음부터 세우기
기울기 = −1이고 (0, 3)을 지납니다. 방정식을 구하세요.
y = mx + by = (−1)x + 3y = −x + 3점이 y절편일 때는 기울기-절편형이 가장 빠릅니다.
방정식 세우기
방정식을 구하세요: 기울기=−1, (0,3)을 지남.
📌 y=−x+3 (y절편은 3).
평행선과 수직선
두 가지 기울기 규칙
평행선 → 같은 기울기 (m1 = m2).
수직선 → 기울기는 음의 역수 (m1 · m2 = −1).
3초 요약
- 기울기 = 상승 / 이동 = (Δy) / (Δx)
- 수평 → m = 0; 수직 → m 정의되지 않음
- y = mx + b: m은 기울기, b는 y절편
- y − y₁ = m(x − x₁): 한 점과 기울기가 있을 때 사용
- 평행 → 같은 기울기; 수직 → 음의 역수 기울기
스스로 점검
빠른 점검 #1
점 (2, 5)와 (6, 13)을 지나는 직선의 기울기를 구하세요.
기울기 = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (13 − 5)/(6 − 2) = 8/4 = 2.
빠른 점검 #2
직선 2x − 3y = 12의 y절편은?
y절편은 x = 0일 때. 대입: 2(0) − 3y = 12 → −3y = 12 → y = −4.