Funciones exponenciales y logarítmicas: inversas que dominan el mundo
Por qué la exponencial y el logaritmo son inversas, las tres reglas del logaritmo que lo resuelven todo, y la trampa del dominio que hunde las ecuaciones logarítmicas.
La exponencial y el logaritmo son inversas
Si b > 0 y b ≠ 1:
bˣ = y ⟺ log_b(y) = x
Por tanto e^(ln a) = a y ln(eᵇ) = b. Se anulan entre sí.
Las tres reglas del logaritmo
- Producto: log_b(MN) = log_b M + log_b N
- Cociente: log_b(M/N) = log_b M − log_b N
- Potencia: log_b(Mⁿ) = n · log_b M
Y las identidades: log_b(b) = 1, log_b(1) = 0, log_b(bᵏ) = k.
Resolver ecuaciones exponenciales
Si puedes igualar las bases, iguala los exponentes: 2x+1 = 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4.
Si no puedes, toma el logaritmo de ambos lados: 3x = 7 → x = ln(7)/ln(3) ≈ 1.77.
La trampa del dominio en ecuaciones logarítmicas
Después de resolver ln(x) + ln(x − 3) = ln(10) → x = 5 o −2, la solución −2 es EXTRAÑA porque ln(−2) no está definido. Siempre comprueba que los argumentos originales del logaritmo sean positivos.
Modelos de crecimiento y decaimiento
Interés compuesto continuo / crecimiento poblacional: A(t) = A₀ · ert. Con r > 0 crece; r < 0 decrece. Fórmula de vida media: t½ = ln(2)/k.
Verifica tu comprensión
Practica con preguntas estilo CBE
Prueba preguntas de exp/log en la práctica de Pre-Cálc Sem A.