Vectores y coordenadas polares: dos formas de ubicar un punto

Vectores en forma de componentes

Un vector v = ⟨a, b⟩ tiene magnitud |v| = √(a² + b²) y dirección θ = arctan(b/a) (ajustada según el cuadrante).

Operaciones

• Suma: ⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩
• Multiplicación por escalar: k·⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩
• Producto escalar: ⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ac + bd (resultado ESCALAR)

Qué te dice el producto escalar

u · v = |u| |v| cos θ, donde θ es el ángulo entre ellos. Por lo tanto:

• u · v = 0 ⟺ u ⊥ v (ortogonales)
• u · v > 0 → ángulo agudo; u · v < 0 → obtuso
• cos θ = (u · v)/(|u| |v|) da el ángulo

Coordenadas polares

Un punto puede ubicarse mediante (r, θ), donde r es la distancia al origen y θ es el ángulo respecto al eje x positivo. Conversión a rectangulares:

• x = r cos θ
• y = r sin θ
• r² = x² + y²
• tan θ = y/x

Curvas polares comunes

• r = constante → circunferencia de ese radio centrada en el origen
• θ = constante → recta que pasa por el origen en ese ángulo
• r = a sin θ o r = a cos θ → circunferencia de diámetro a, que pasa por el origen
• r = a ± a cos θ → cardioide (forma de corazón)
• r = a sin(nθ) → rosa con n pétalos (n impar) o 2n pétalos (n par)

Comprueba lo aprendido

Practica con preguntas al estilo CBE

Práctica Pre-Cálculo Sem B para vectores y polares.