Funciones polinómicas: ceros, multiplicidad y comportamiento en el infinito
Por qué algunos ceros "rebotan" en el eje x mientras que otros lo atraviesan — y cómo el término principal decide lo que ocurre lejos del origen.
Leer un polinomio a partir de su gráfica
Tres cosas que puedes leer de la gráfica de cualquier polinomio: número de ceros, multiplicidad de cada cero y comportamiento en el infinito. En conjunto, con frecuencia determinan el polinomio salvo un coeficiente principal.
El comportamiento en el infinito lo decide el término principal
Para P(x) = aₙxⁿ + (términos menores): cuando |x| → ∞, solo aₙxⁿ importa.
- Grado par, coeficiente principal positivo: ambos extremos suben (∪)
- Grado par, coeficiente principal negativo: ambos extremos bajan (∩)
- Grado impar, coeficiente principal positivo: baja a la izquierda, sube a la derecha (∕)
- Grado impar, coeficiente principal negativo: sube a la izquierda, baja a la derecha (∖)
La multiplicidad cambia cómo la gráfica toca el eje x
Si P(x) tiene el factor (x − r)ᵐ, el cero en r tiene multiplicidad m.
- Multiplicidad impar (1, 3, 5, ...): la gráfica ATRAVIESA el eje x en r.
- Multiplicidad par (2, 4, ...): la gráfica TOCA (rebota en) el eje x en r.
Para P(x) = (x − 1)(x + 2)²(x − 5)³ los ceros son 1 (mult 1, atraviesa), −2 (mult 2, rebota), 5 (mult 3, atraviesa). Suma total = 6 = grado de P.
Teorema Fundamental del Álgebra
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas contadas con multiplicidad. Las raíces reales son un subconjunto; las complejas aparecen en pares conjugados cuando los coeficientes son reales.
Verifica tu comprensión
Practica con preguntas estilo CBE
Prueba preguntas de polinomios en la práctica de Pre-Cálc Sem A.