Identidades y ecuaciones trigonométricas: las seis que resuelven todo

Las tres identidades pitagóricas

• sin²θ + cos²θ = 1 (la base)
• 1 + tan²θ = sec²θ (dividir entre cos²)
• 1 + cot²θ = csc²θ (dividir entre sin²)

Fórmulas de ángulo doble

• sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
• cos(2θ) = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ (tres formas equivalentes)
• tan(2θ) = 2 tan θ / (1 − tan²θ)

Resolver ecuaciones trigonométricas: la trampa de las múltiples soluciones

Al resolver sin θ = c en [0, 2π], generalmente hay DOS soluciones. Usa el ángulo de referencia:

• sin positivo → Q1 y Q2: θ = arcsin(c) y π − arcsin(c)
• sin negativo → Q3 y Q4: θ = π + ref y 2π − ref

Para sin(nθ) = c, resuelve primero para nθ y luego divide — recuerda que nθ recorre [0, 2πn], así que hay 2n soluciones.

Cuadrática en sin/cos

Ecuaciones como 2sin²x − sin x − 1 = 0 son cuadráticas en u = sin x. Factorizar: (2u + 1)(u − 1) = 0 → sin x = 1 o sin x = −1/2. Después resuelve cada una de la manera estándar.

Comprueba lo aprendido

Practica con preguntas al estilo CBE

Práctica Pre-Cálculo Sem B para ecuaciones trigonométricas.