Hàm mũ và hàm logarit: hai hàm nghịch đảo điều khiển cả thế giới
Vì sao exp và log là inverse của nhau, ba quy tắc log giải quyết mọi bài toán, và cái bẫy về domain khiến các phương trình log dễ sai cho các em.
Exponential và logarithm là hàm ngược nhau
Nếu b > 0 và b ≠ 1:
bˣ = y ⟺ log_b(y) = x
Do đó e^(ln a) = a và ln(eᵇ) = b. Chúng triệt tiêu nhau.
Ba quy tắc logarit
- Product: log_b(MN) = log_b M + log_b N
- Quotient: log_b(M/N) = log_b M − log_b N
- Power: log_b(Mⁿ) = n · log_b M
Và các đồng nhất thức: log_b(b) = 1, log_b(1) = 0, log_b(bᵏ) = k.
Giải phương trình mũ
Nếu có thể đưa về cùng cơ số, cho các số mũ bằng nhau: 2x+1 = 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4.
Nếu không được, lấy log hai vế: 3x = 7 → x = ln(7)/ln(3) ≈ 1.77.
Bẫy domain trong phương trình log
Sau khi giải ln(x) + ln(x − 3) = ln(10) → x = 5 hoặc −2, thì −2 là NGHIỆM NGOẠI LAI vì ln(−2) không xác định. Luôn kiểm tra các đối số của log gốc phải dương.
Mô hình tăng trưởng và phân rã
Compound liên tục / tăng trưởng dân số: A(t) = A₀ · ert. Với r > 0 tăng; r < 0 giảm. Công thức chu kỳ bán rã: t½ = ln(2)/k.
Tự kiểm tra
Luyện thêm với câu hỏi kiểu CBE
Thử các câu về exp/log trong Pre-Calc Sem A practice.