지수함수와 로그함수: 세상을 움직이는 역함수

지수와 로그가 왜 서로 역함수인지, 모든 문제를 풀어 주는 세 가지 로그 법칙, 그리고 로그 방정식을 무너뜨리는 정의역 함정.

8 분TEKS 3E-3I미적분 준비

지수와 로그는 서로 역함수입니다

b > 0이고 b ≠ 1일 때:

bˣ = y ⟺ log_b(y) = x

따라서 e^(ln a) = a이고 ln(eᵇ) = b입니다. 서로를 상쇄합니다.

그리고 항등식: log_b(b) = 1, log_b(1) = 0, log_b(bᵏ) = k.

밑을 같게 맞출 수 있다면 지수를 비교합니다: 2^x+1 = 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4.

그럴 수 없다면 양변에 로그를 취합니다: 3^x = 7 → x = ln(7)/ln(3) ≈ 1.77.

⚠️ 항상 정의역을 확인하세요

ln(x) + ln(x − 3) = ln(10)을 풀어 x = 5 또는 −2를 얻더라도, ln(−2)는 정의되지 않으므로 −2는 무연근입니다. 원래 로그의 진수가 항상 양수인지 반드시 확인하세요.

연속 복리 / 인구 증가: A(t) = A₀ · e^rt. r > 0이면 증가, r < 0이면 감쇠합니다. 반감기 공식: t½ = ln(2)/k.

📌 풀이

4^x = 64일 때 x는 얼마일까요?

Pre-Calc Sem A 연습에서 지수/로그 문제를 풀어 보세요.