指数与对数函数：主宰你世界的一对逆函数
为什么 exp 与 log 互为逆函数、三条 log 法则如何搞定一切，以及让 log 方程翻车的定义域陷阱。
指数与对数互为逆函数
若 b > 0 且 b ≠ 1：
bˣ = y ⟺ log_b(y) = x
因此 e^(ln a) = a，ln(eᵇ) = b。它们互相抵消。
三条对数法则
- Product：log_b(MN) = log_b M + log_b N
- Quotient：log_b(M/N) = log_b M − log_b N
- Power：log_b(Mⁿ) = n · log_b M
另外三个恒等式：log_b(b) = 1，log_b(1) = 0，log_b(bᵏ) = k。
解指数方程
能凑成同底就令指数相等：2x+1 = 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4。
凑不成，两边取对数：3x = 7 → x = ln(7)/ln(3) ≈ 1.77。
对数方程的定义域陷阱
⚠️ 一定要检查定义域
解 ln(x) + ln(x − 3) = ln(10) → x = 5 或 −2 之后，−2 是增根，因为 ln(−2) 没有定义。永远检查原始 log 的自变量是否为正。
增长与衰减模型
连续复利 / 人口增长：A(t) = A₀ · ert。r > 0 增长；r < 0 衰减。半衰期公式：t½ = ln(2)/k。
自我检验
📌 解方程
若 4x = 64，x 等于？
64 = 4³ → x = 3。
通过 CBE 风格题目练习
在 Pre-Calc Sem A practice 中尝试 exp/log 相关题。