다항함수: 영점, 중복도, 무한대에서의 거동
어떤 영점은 x축에서 "튕겨" 나오고 어떤 영점은 x축을 통과하는 이유 — 그리고 최고차항이 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 무슨 일이 일어날지를 어떻게 결정하는지 배웁니다.
그래프로 다항식 읽기
임의의 다항식 그래프에서 세 가지 정보를 읽을 수 있습니다: 영점의 개수, 각 영점의 중복도, 그리고 무한대에서의 거동. 이 셋을 합치면 최고차항의 계수까지 감안한 다항식이 흔히 결정됩니다.
무한대에서의 거동은 최고차항이 결정합니다
P(x) = aₙxⁿ + (그 아래 항들)에 대해: |x| → ∞일 때 오직 aₙxⁿ만 영향을 미칩니다.
- 짝수 차수, 최고차 계수 양수: 양 끝 모두 위로 (∪)
- 짝수 차수, 최고차 계수 음수: 양 끝 모두 아래로 (∩)
- 홀수 차수, 최고차 계수 양수: 왼쪽은 아래, 오른쪽은 위 (∕)
- 홀수 차수, 최고차 계수 음수: 왼쪽은 위, 오른쪽은 아래 (∖)
중복도는 그래프가 x축을 만나는 방식을 바꿉니다
P(x)가 인수 (x − r)ᵐ을 가지면 r에서의 영점의 중복도는 m입니다.
- 홀수 중복도 (1, 3, 5, …): 그래프는 x축을 관통합니다.
- 짝수 중복도 (2, 4, …): 그래프는 x축에 닿았다가 튕겨 돌아옵니다.
🎯 중복도의 합 = 차수
P(x) = (x − 1)(x + 2)²(x − 5)³의 영점은 1 (중복도 1, 관통), −2 (중복도 2, 튕김), 5 (중복도 3, 관통)입니다. 총 중복도 = 6 = P의 차수.
대수학의 기본정리
차수 n인 다항식은 중복도를 포함해 정확히 n개의 복소근을 가집니다. 실근은 그 부분집합이며, 계수가 실수라면 복소근은 켤레 쌍으로 나타납니다.
스스로 확인해 보세요
📌 간단 점검
P(x) = (x + 1)²(x − 3)의 그래프는 x = −1에서 x축을 어떻게 만날까요?
중복도 2 → 짝수 → 튕겨 나옵니다.
CBE 스타일 연습 문제로 훈련하기
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