多项式函数：零点、重数与末端行为
为什么有些零点在 x 轴上"弹回"，另一些却直接穿过——以及首项如何决定远处的走向。
从图像读一个多项式
从任何多项式的图像上，你能读出三件事：零点个数、每个零点的 multiplicity（重数）、以及 end behavior。三者合起来通常能锁定多项式（相差一个首项系数）。
End behavior 由首项决定
对 P(x) = aₙxⁿ + (低次项)：当 |x| → ∞ 时，只有 aₙxⁿ 起作用。
- 偶次数，正首项：两端都向上（∪）
- 偶次数，负首项：两端都向下（∩）
- 奇次数，正首项：左端向下，右端向上（∕）
- 奇次数，负首项：左端向上，右端向下（∖）
重数改变图像与 x 轴的相遇方式
若 P(x) 有因子 (x − r)ᵐ，则 r 处的零点 重数为 m。
- 奇重数（1, 3, 5, ...）：图像在 r 处 穿过 x 轴。
- 偶重数（2, 4, ...）：图像在 r 处 触碰（弹回）x 轴。
🎯 重数之和 = 次数
对 P(x) = (x − 1)(x + 2)²(x − 5)³，零点为 1（重数 1，穿过）、−2（重数 2，弹回）、5（重数 3，穿过）。总重数 = 6 = P 的次数。
代数基本定理
次数为 n 的多项式（计入 multiplicity）恰好有 n 个复数根。实根是其中一个子集；当系数为实数时，复根成对出现（共轭）。
自我检验
📌 Quick check
P(x) = (x + 1)²(x − 3)。图像在 x = −1 处与 x 轴如何相遇？
重数 2 → 偶 → 弹回。
通过 CBE 风格题目练习
在 Pre-Calc Sem A practice 中练习多项式题。