Hàm đa thức: nghiệm (zeros), bội (multiplicity) và dáng điệu ở vô cực (end behavior)
Vì sao một số nghiệm "nảy" lại khỏi trục x còn số khác thì cắt qua — và bậc cao nhất quyết định điều gì xảy ra ở xa gốc.
Đọc một đa thức từ đồ thị
Ba thông tin mà các em có thể đọc từ đồ thị của bất kỳ đa thức nào: số nghiệm, bội của mỗi nghiệm, và end behavior. Kết hợp lại, thường xác định được đa thức đó, sai khác một hệ số dẫn.
End behavior do leading term quyết định
Với P(x) = aₙxⁿ + (các số hạng bậc thấp): khi |x| → ∞, chỉ aₙxⁿ mới quan trọng.
- Bậc chẵn, hệ số dẫn dương: cả hai đầu đi lên (∪)
- Bậc chẵn, hệ số dẫn âm: cả hai đầu đi xuống (∩)
- Bậc lẻ, hệ số dẫn dương: trái xuống, phải lên (∕)
- Bậc lẻ, hệ số dẫn âm: trái lên, phải xuống (∖)
Bội thay đổi cách đồ thị gặp trục x
Nếu P(x) có nhân tử (x − r)ᵐ, nghiệm tại r có bội m.
- Bội lẻ (1, 3, 5, ...): đồ thị CẮT trục x tại r.
- Bội chẵn (2, 4, ...): đồ thị CHẠM (nảy lại) trục x tại r.
Với P(x) = (x − 1)(x + 2)²(x − 5)³, các nghiệm là 1 (bội 1, cắt qua), −2 (bội 2, nảy lại), 5 (bội 3, cắt qua). Tổng bội = 6 = bậc của P.
Định lý cơ bản của đại số (Fundamental Theorem of Algebra)
Một đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức tính cả bội. Nghiệm thực là một tập con; các nghiệm phức xuất hiện theo cặp liên hợp khi các hệ số là số thực.
Tự kiểm tra
Luyện thêm với câu hỏi kiểu CBE
Thử các câu về polynomial trong Pre-Calc Sem A practice.