三角恒等式与方程:解决一切的六个公式

三个毕达哥拉斯恒等式

• sin²θ + cos²θ = 1(基础)
• 1 + tan²θ = sec²θ(两边除以 cos²)
• 1 + cot²θ = csc²θ(两边除以 sin²)

二倍角公式

• sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
• cos(2θ) = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ(三种等价形式)
• tan(2θ) = 2 tan θ / (1 − tan²θ)

解三角方程:多解陷阱

在 [0, 2π] 内求解 sin θ = c 时,通常有两个解。使用参考角:

• sin 为正 → Q1 和 Q2:θ = arcsin(c) 与 π − arcsin(c)
• sin 为负 → Q3 和 Q4:θ = π + ref 与 2π − ref

对于 sin(nθ) = c,先求 nθ,再除以 n —— 记住 nθ 覆盖 [0, 2πn],所以共有 2n 个解。

关于 sin/cos 的二次方程

形如 2sin²x − sin x − 1 = 0 的方程,是关于 u = sin x 的二次式。因式分解:(2u + 1)(u − 1) = 0 → sin x = 1 或 sin x = −1/2。然后用标准方法分别求解。

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