Vectơ và tọa độ cực: Hai cách xác định một điểm

Vectơ ở dạng tọa độ

Một vectơ v = ⟨a, b⟩ có độ lớn |v| = √(a² + b²) và hướng θ = arctan(b/a) (điều chỉnh theo góc phần tư).

Các phép toán

• Cộng: ⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩
• Nhân vô hướng: k·⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩
• Tích vô hướng: ⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ac + bd (kết quả là VÔ HƯỚNG)

Tích vô hướng cho ta biết điều gì

u · v = |u| |v| cos θ, trong đó θ là góc giữa hai vectơ. Do đó:

• u · v = 0 ⟺ u ⊥ v (trực giao)
• u · v > 0 → góc nhọn; u · v < 0 → góc tù
• cos θ = (u · v)/(|u| |v|) cho ta góc

Tọa độ cực

Một điểm có thể được xác định bởi (r, θ) trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ và θ là góc so với trục x dương. Chuyển sang tọa độ Descartes:

• x = r cos θ
• y = r sin θ
• r² = x² + y²
• tan θ = y/x

Các đường cực thường gặp

• r = hằng số → đường tròn bán kính đó, tâm tại gốc tọa độ
• θ = hằng số → đường thẳng qua gốc tọa độ tại góc đó
• r = a sin θ hoặc r = a cos θ → đường tròn đường kính a, đi qua gốc tọa độ
• r = a ± a cos θ → đường cardioid (hình trái tim)
• r = a sin(nθ) → hoa hồng với n cánh (n lẻ) hoặc 2n cánh (n chẵn)

Kiểm tra lại

Luyện tập với các câu hỏi kiểu CBE

Bài tập Pre-Calc Sem B cho vectơ và tọa độ cực.