벡터와 극좌표: 점을 표시하는 두 가지 방법

성분 형식의 벡터

벡터 v = ⟨a, b⟩는 크기 |v| = √(a² + b²)와 방향 θ = arctan(b/a)(사분면에 따라 조정)을 가집니다.

연산

• 덧셈: ⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩
• 스칼라 곱: k·⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩
• 내적: ⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ac + bd (결과는 스칼라)

내적이 알려주는 것

u · v = |u| |v| cos θ이며, 여기서 θ는 두 벡터 사이의 각입니다. 따라서:

• u · v = 0 ⟺ u ⊥ v (직교)
• u · v > 0 → 예각; u · v < 0 → 둔각
• cos θ = (u · v)/(|u| |v|)로 각을 구합니다

극좌표

점은 (r, θ)로 나타낼 수 있으며, 여기서 r은 원점으로부터의 거리이고 θ는 양의 x축으로부터의 각입니다. 직각좌표로의 변환:

• x = r cos θ
• y = r sin θ
• r² = x² + y²
• tan θ = y/x

대표적인 극곡선

• r = 상수 → 원점을 중심으로 하는 그 반지름의 원
• θ = 상수 → 원점을 지나며 그 각을 이루는 직선
• r = a sin θ 또는 r = a cos θ → 지름이 a이고 원점을 지나는 원
• r = a ± a cos θ → 심장형 곡선(하트 모양)
• r = a sin(nθ) → n이 홀수이면 n개의 꽃잎, n이 짝수이면 2n개의 꽃잎을 가진 장미

스스로 점검하기

CBE 형식의 연습 문제로 훈련하기

벡터와 극좌표는 Pre-Calc Sem B 연습에서 훈련하십시오.