向量与极坐标:定位一个点的两种方式

向量的分量形式

向量 v = ⟨a, b⟩ 具有大小 |v| = √(a² + b²) 与方向 θ = arctan(b/a)(需根据象限调整)。

运算

• 加法:⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩
• 数乘:k·⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩
• 点积:⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ac + bd(结果为标量)

点积告诉你什么

u · v = |u| |v| cos θ,其中θ为两向量之间的夹角。因此:

• u · v = 0 ⟺ u ⊥ v(正交)
• u · v > 0 → 锐角;u · v < 0 → 钝角
• cos θ = (u · v)/(|u| |v|) 可求出夹角

极坐标

一个点可用 (r, θ) 定位,其中r是与原点的距离,θ是与正x轴的夹角。转换为直角坐标:

• x = r cos θ
• y = r sin θ
• r² = x² + y²
• tan θ = y/x

常见极坐标曲线

• r = 常数 → 以原点为圆心、该常数为半径的圆
• θ = 常数 → 过原点、与x轴成该角度的直线
• r = a sin θ 或 r = a cos θ → 直径为a、过原点的圆
• r = a ± a cos θ → 心脏线(心形)
• r = a sin(nθ) → n为奇数时有n瓣、n为偶数时有2n瓣的玫瑰线

自我检测

用CBE风格练习题训练

Pre-Calc Sem B 练习提供向量与极坐标练习。