函数：定义域、值域，以及你真正需要的记号
掌握函数的"语言"——domain 和 range 到底是什么、怎么读 function notation，以及为什么分段函数最容易踩坑。
函数的思维方式
函数是接受一个输入、给出恰好一个输出的规则。允许的输入的集合叫 domain（定义域）；对应输出的集合叫 range（值域）。Pre-Calculus 里凡涉及函数的题目都默认你能识别这两者。
读懂 function notation
如果 f(x) = 2x + 3，那么 f(5) 就是"在 x = 5 处求 f 的值" → 2(5) + 3 = 13。f(x + h) 不是 f(x) + f(h)——它表示把整个表达式 (x + h) 代入 x。
🔑 常见错误
学生常写 f(x + 3) = f(x) + 3。这只有当 f 是线性时才成立。对 f(x) = x²，我们有 f(x+3) = (x+3)² ≠ x² + 3。
求 domain
始终要检查的两条限制：
- 不能除以零：分母 ≠ 0
- 偶次根号下不能为负：被开方式 ≥ 0（对 √, ⁴√ 等）
- log 不能取 0 或负数：log/ln 的自变量 > 0
对 f(x) = √(x − 4) / (x − 9)，两条都用得上：x − 4 ≥ 0 且 x − 9 ≠ 0 → domain 为 [4, 9) ∪ (9, ∞)。
求 range（比 domain 难）
按函数类型选择策略：
- 平方 + 常数：x² ≥ 0 恒成立；所以 x² + 5 ≥ 5；range [5, ∞)。
- 从图像入手：把曲线投影到 y 轴。
- 同次数的 rational：range = 所有实数除去 horizontal asymptote 的值。
自我检验
📌 Quick check
f(x) = 1/(x² − 16) 的 domain 是什么？x² − 16 = 0 当 x = ±4。两个都要排除。
通过 CBE 风格题目练习
在 Pre-Calc Sem A practice 中尝试 domain 和 function notation 相关题目 — 开始 Sem A practice。