圆锥曲线:圆、椭圆、抛物线、双曲线

四种圆锥曲线,以及它们的标准型如何一眼揭示顶点、焦点与渐近线。

8 分钟TEKS 5D-5I微积分预备

四种圆锥曲线及其特征

圆:(x − h)² + (y − k)² = r² → 圆心 (h, k),半径 r
椭圆:(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 → 中心 (h, k);长轴沿分母较大的那个坐标轴
抛物线:(x − h)² = 4p(y − k)(向上/向下开口)或 (y − k)² = 4p(x − h)(向左/向右开口)
双曲线:(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1(左右开口)或 (y − k)²/a² − (x − h)²/b² = 1(上下开口)

快速识别法则

x² 与 y² 系数相同并且相加 → 圆
不同的正系数并且相加 → 椭圆
一个变量平方,另一个变量一次 → 抛物线
两个平方之差 = 1 → 双曲线

焦点与离心率

圆锥曲线	c 关系	离心率 e
圆	c = 0	e = 0
椭圆	c² = a² − b²	0 < e < 1,e = c/a
抛物线	焦点距离顶点 p	e = 1
双曲线	c² = a² + b²(注意是加号!)	e > 1,e = c/a

⚠️ 符号陷阱

椭圆:c² = a² − b²。双曲线:c² = a² + b²。很多学生会搞混——记住:椭圆是减,双曲线是加。

自我检测

📌 识别

x²/9 − y²/16 = 1 是:

用CBE风格练习题训练

Pre-Calc Sem B 练习提供圆锥曲线练习。