有理函数：渐近线、空洞点，以及每种情况该怎么办
垂直渐近线还是空洞点——由约分规则决定。另外附上水平渐近线和斜渐近线的判定捷径。
约分规则（最重要！）
对有理函数 R(x) = p(x)/q(x)，先把分子和分母彻底因式分解。然后：
- 能约掉的因子 → 该 x 值处出现 HOLE（空洞点）
- 分母中约不掉的因子 → 该处出现 VERTICAL ASYMPTOTE（垂直渐近线）
例：R(x) = (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) → 约到 (x + 2)，附加限制 x ≠ 2。所以 x = 2 处是 HOLE（不是渐近线）。空洞点处 y = 2 + 2 = 4 — 点 (2, 4) 被挖去。
水平渐近线规则
对 R(x) = p(x)/q(x)：
- deg(p) < deg(q)：y = 0
- deg(p) = deg(q)：y = (p 的首项系数)/(q 的首项系数)
- deg(p) > deg(q)：无水平渐近线（若恰好多 1 次，则有斜渐近线）
斜（oblique）渐近线
当 deg(p) = deg(q) + 1，做多项式长除：R(x) = 商 + 余式/q(x)。商就是斜渐近线；当 |x| → ∞ 时余式趋于 0。
自我检验
📌 找渐近线
R(x) = (3x² + 1)/(x² − 4) 的水平渐近线是什么？
次数相同 → 首项系数之比 = 3/1。
通过 CBE 风格题目练习
Pre-Calc Sem A practice 里练习有理函数题。