함수: 정의역, 치역 그리고 꼭 알아야 할 표기법
함수의 언어를 익히세요 — 정의역과 치역이 실제로 무엇을 의미하는지, 함수 표기법을 어떻게 읽는지, 그리고 조각별 함수가 왜 학생들을 곤란하게 만드는지 배웁니다.
함수의 사고방식
함수는 입력을 받아 정확히 하나의 출력을 내는 규칙입니다. 허용되는 입력들의 집합이 정의역이고, 그 결과로 나오는 출력들의 집합이 치역입니다. 함수를 다루는 모든 Pre-Calculus 문제는 여러분이 이 두 가지를 식별할 수 있다고 가정합니다.
함수 표기법 읽기
f(x) = 2x + 3이라면, f(5)는 "x = 5일 때 f를 계산하라"는 뜻입니다 → 2(5) + 3 = 13. f(x + h)라는 표기는 f(x) + f(h)가 아닙니다 — (x + h) 전체 표현을 x 자리에 대입한다는 의미입니다.
🔑 자주 하는 실수
학생들은 종종 f(x + 3) = f(x) + 3이라고 쓰곤 합니다. 이는 f가 일차함수일 때만 성립합니다. f(x) = x²이라면 f(x+3) = (x+3)² ≠ x² + 3입니다.
정의역 구하기
항상 확인해야 할 두 가지 제한 조건입니다:
- 0으로 나누기 금지: 분모 ≠ 0
- 짝수 제곱근 안에 음수 금지: √, ⁴√ 등에서 근호 안 ≥ 0
- log의 진수가 0 이하이면 안 됨: log/ln의 진수 > 0
f(x) = √(x − 4) / (x − 9)의 경우 두 조건 모두 적용됩니다: x − 4 ≥ 0 그리고 x − 9 ≠ 0 → 정의역은 [4, 9) ∪ (9, ∞)입니다.
치역 구하기 (정의역보다 어렵습니다)
함수 유형에 따른 전략입니다:
- 제곱 + 상수: x² ≥ 0은 항상 성립하므로 x² + 5 ≥ 5, 치역은 [5, ∞)입니다.
- 그래프에서: 곡선을 y축에 정사영합니다.
- 동차 유리식: 치역 = 수평 점근선 값을 제외한 모든 실수입니다.
스스로 확인해 보세요
📌 간단 점검
f(x) = 1/(x² − 16)의 정의역은 무엇일까요?x² − 16 = 0은 x = ±4일 때 성립합니다. 두 값 모두 제외합니다.
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